[論文レビュー] The Černy Conjecture for aperiodic automata

A. N. Trahtman|May 19, 2021

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、n状態の非周期的決定的有限オートマトンが、長さが最大で n(n−1)/2 である同期語を持つことによって、非周期的オートマトンにおけるČerný予想を証明する。証明は、非周期的遷移モノイドの構造的性質、安定関係、および商オートマトンによる帰納的還元を用いる。これにより、スターフリー言語および広範なクラスのオートマトンにおいて予想が確立される。

ABSTRACT

A word w is called a synchronizing (recurrent, reset) word of a deterministic finite automaton (DFA) if w brings all states of the automaton to some state; a DFA that has a synchronizing word is said to be synchronizing. Cerny conjectured in 1964 that every n-state synchronizing DFA possesses a synchronizing word of length at most (n -1)2. We consider automaton with aperiodic transition monoid (such automaton is called aperiodic). We show that every synchronizing n-state aperiodic automaton has a synchronizing word of length at most n(n-2)+1. Thus, for aperiodic automaton as well as for automatons accepting only star-free languages, the Cerny conjecture holds true.

研究の動機と目的

• 遷移モノイドに非自明な部分群を含まない、特定のクラスのオートマトン—非周期的オートマトン—におけるČerný予想を解決すること。
• スターフリー言語に相当する非周期的オートマトンが、最短同期語の上界として予想された (n−1)² を満たすことを確立すること。
• 商オートマトンと安定同値関係を用いた構成的証明を提供し、問題のサイズを帰納的に縮小すること。
• これまでに検証された特殊ケースを超えて、代数的および言語理論的性質によって定義される広範なクラスのオートマトンへとČerný予想の有効性を拡張すること。

提案手法

• 直接平方グラフ Γ² におけるほぼ最小の強連結成分（SCC）を定義し、語の作用下での状態ペアを分析する。
• 安定関係 ≽_M 及びその同値閉包 ρ_M を導入し、これらがオートマトンの状態集合上で合同関係を形成することを示す。
• ρ_M が非周期的オートマトンにおいて非自明であることを利用し、商オートマトン A/ρ_M を用いて問題のサイズを縮小する。
• r < n 個の状態をもつより小さいオートマトンにおいて境界が成り立つものと仮定し、商オートマトンに対して帰納法を適用する。
• 同期語を2つの部分の積として構成する：1つは商オートマトンを同期させる（長さ ≤ (r−1)r/2）、もう1つは元の状態の前像を同期させる（長さ ≤ (n−r+1)(n−1)/2）。
• ∑r_i = n−r の恒等式を用いて、合計長さが n(n−1)/2 以下であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移モノイドに非自明な部分群を含まない非周期的オートマトンにおいて、Černý予想は成立するか？
• RQ2 非周期的オートマトンにおいて、一般の O(n³) から O(n²) への最短同期語長の上界を改善できるか？
• RQ3 非周期的オートマトンに、一般の場合よりもタイトな上界を可能にする構造的または代数的性質は存在するか？
• RQ4 非周期的オートマトンに吸収状態が存在する場合、最短同期語長に対する多項式上界を導出できるか？
• RQ5 スターフリー言語（非周期的オートマトンに等価）の性質は、同期語長にどのような制約を課えるか？

主な発見

• すべてのn状態の非周期的決定的有限オートマトンは、長さが最大で n(n−1)/2 である同期語を持つ。
• n > 2 のとき、n(n−1)/2 は予想された (n−1)² よりも厳密に小さいため、このクラスにおいてČerný予想が確認される。
• 非周期的オートマトンに吸収状態が存在することは、長さ ≤ n(n−1)/2 である同期語の存在と同値である。
• 証明は、Γ² 内のほぼ最小の SCC から導かれる非自明な合同関係 ρ_M を用いた商オートマトン A/ρ_M による帰納的還元を用いる。
• 構成により、同期語の総長さが (r−1)r/2 + (n−r+1)(n−1)/2 ≤ n(n−1)/2 で抑えられることを保証する。ここで r < n である。
• この結果により、スターフリー言語を受理するすべてのオートマトン（これらは正確に非周期的オートマトンである）においてČerný予想が確認される。