[論文レビュー] The Euclidean distance degree of an algebraic variety

Jan Draisma, Emil Horobeţ+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、代数幾何学および最適化における基本的不変量としてのユークリッド距離次数（ED次数）を導入し、一般の点から実代数的概形への平方距離関数の臨界点の数を測る。ラグランジュ乗数と代数幾何学を用いた計算ツールを発展させ、ED次数および平均ED次数の計算を可能にし、低ランク行列、テンソル、幾何モデルへの応用を含む。双対性不変性を証明し、セグレ多様体やランク1テンソルなどの重要なケースに対して明示的な公式を導出する。

ABSTRACT

The nearest point map of a real algebraic variety with respect to Euclidean distance is an algebraic function. For instance, for varieties of low rank matrices, the Eckart-Young Theorem states that this map is given by the singular value decomposition. This article develops a theory of such nearest point maps from the perspective of computational algebraic geometry. The Euclidean distance degree of a variety is the number of critical points of the squared distance to a generic point outside the variety. Focusing on varieties seen in applications, we present numerous tools for exact computations.

研究の動機と目的

• 実代数的概形上での最適化における代数的複雑性の尺度として、ユークリッド距離次数（ED次数）を形式化すること。
• 代数幾何学およびラグランジュ乗数を用いた計算技法を開発し、ED次数の正確な計算を可能にすること。
• ガウス分布によるサンプリング下での平均ED次数（aED次数）を研究し、ランダム行列理論および統計モデルと関連付けること。
• 双対性不変性を確立する：射影的概形に対して ED次数(X) = ED次数(X*) が成り立ち、極クラスと関連付けること。
• 低ランク行列多様体およびテンソルのセグレ埋め込みといった主要な応用においてED次数の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 一般の点から概形への平方ユークリッド距離関数の非特異臨界点の数としてED次数を定義する。
• ラグランジュ乗数を用い、ベクトル (u−x) が接空間 TxX に直交するという条件によって臨界点を特徴付ける。
• ED対応 EX を導入し、これは (x,u) の組で、X 上の du の臨界点 x を表す。これにより平均ED次数の計算が可能になる。
• ED対応を余接多様体に持ち上げ、双対性を用いて射影的概形に対して ED次数(X) = ED次数(X*) を証明する。
• ランク1テンソルに対して、平均ED次数を、ガウス分布に従う独立成分を持つランダム対称行列の行列式の絶対値の期待値としての公式を導出する。
• これらのツールを用い、カーディオイド、低ランク行列、セグレ多様体などの特定の多様体のED次数を計算する。マカウレイ2のコードと記号計算を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間内の与えられた点から実代数的概形への最近点を求める際の代数的複雑性は何か？
• RQ2 低ランク行列補完やテンソル分解などの応用で生じる多様体に対して、ED次数を正確に計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 多様体のED次数とその双対多様体のED次数の関係は何か？ED次数は双対性のもとで不変であるか？
• RQ4 ガウス分布によるサンプリング下での平均ED次数（aED次数）はどのように振る舞い、ランダム行列の期待値で表現可能か？
• RQ5 セグレ多様体やその他のテンソルモデルに対して、閉形式または効率的な公式を導出可能か？

主な発見

• カーディオイドのED次数は3であり、一般の外部点に対して3つの実臨界点を持つ。ED判別式（回旋曲線）が3つまたは1つの実解を持つ領域を分離する。
• 形式 $m_1 \times \cdots \times m_p$ のランク1テンソルのセグレ多様体に対して、定理8.1によりED次数は $\sum_{i=1}^p \binom{m_i}{2} + 1$ で与えられ、具体的には $2\times2\times2$ では6、$2^5$ では120 となる。
• $2\times2\times2$ テンソル形式の平均ED次数は約4.287であり、ED次数6よりも顕著に小さい。これは大多数の臨界点が複素数であることを示唆する。
• 標準ガウス測度下でのセグレ多様体の平均ED次数は、$\frac{\pi^{p/2}}{2^{m/2} \prod_{i=1}^p \Gamma(m_i/2)} \cdot \mathbb{E}[|\det(A)|]$ に等しく、ここで $A$ は独立なガウス成分を持つランダム対称行列である。
• $p \geq 3$ の場合、$m_p - 1 \geq \sum_{i=1}^{p-1} (m_i - 1)$ の境界を超えると平均ED次数は安定化またはわずかに減少するが、まだ幾何的解釈は得られていない。
• 双対性の性質が成立する：射影的概形に対して $\mathrm{EDdegree}(X) = \mathrm{EDdegree}(X^*)$ であり、ED次数は $X$ の古典的極クラスの和に等しい。