[論文レビュー] The Euler adic dynamical system and path counts in the Euler graph

Karl Petersen, Alexander Varchenko|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたオイラー数 $ A_{p,q}(i,j) $ に対する閉形式の公式を確立し、重要な比の単調性を証明した。これらの結果を応用して、オイラー図形上のブラッテリ＝ヴェルシク系に対して、対称的測度が一意に定まる完全にサポートされた不変でエルゴード的であるBorel確率測度であることを、新たな証明が与えられる。証明は2次元の帰納法と、同じ終点に至る異なる出発点からのパス間の全単射対応に依拠している。

ABSTRACT

We give a formula for generalized Eulerian numbers, prove monotonicity of sequences of certain ratios of the Eulerian numbers, and apply these results to obtain a new proof that the natural symmetric measure for the Bratteli-Vershik dynamical system based on the Euler graph is the unique fully supported invariant ergodic Borel probability measure. Key ingredients of the proof are a two-dimensional induction argument and a one-to-one correspondence between most paths from two vertices at the same level to another vertex.

研究の動機と目的

• オイラー図形において $ (p,q) $ から $ (p+i,q+j) $ へのパスの数を数える一般化されたオイラー数 $ A_{p,q}(i,j) $ に対する閉形式の式を導出すること。
• 不変測度の解析に不可欠な、オイラー数の比の単調性の性質を証明すること。
• オイラーアディック系における自然な対称的測度が、唯一の完全にサポートされたエルゴード的不変測度であることを確立すること。
• 置換符号化が利用できない高次元版のオイラーアディック系へ応用可能な手法を開発すること。

提案手法

• 包含除法と二項係数の恒等式を用いて、$ A_{p,q}(i,j) $ の閉形式の公式を導出する。
• 2次元の帰納法を用いて、公式およびオイラー数の比の単調性を証明する。
• $ (p,q) $ および $ (p',q') $ から同じ終点 $ (i,j) $ へ至るパスの間の1対1対応を確立し、符号化列を保存する。
• エッジの符号化（マーク付き、水平未マーク、垂直未マーク）を用いて、異なる出発点からのパス集合間の全単射を定義する。
• パス数え上げの結果を、ブラッテリ＝ヴェルシク系のエルゴード論に応用し、極限式 $ \lim_{i,j\to\infty} \frac{A_{p,q}(i,j)}{A_{0,0}(p+i,q+j)} = \frac{1}{(p+q+1)!} $ を用いる。
• 極限式を用いて、対称的測度のための一般な点が、両方の座標が発散するパスであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー図形における $ (p,q) $ から $ (p+i,q+j) $ へのパスの数 $ A_{p,q}(i,j) $ の閉形式の式は何か？
• RQ2 比 $ \frac{A_{p,q}(i,j+1)}{A_{p,q-1}(i,j+1)} $ および $ \frac{A_{p,q}(i,j)}{A_{p,q-1}(i,j)} $ は $ j $ の関数としてどのように振る舞い、測度の一意性に何を意味するか？
• RQ3 パス数え上げの技法を用いて、オイラーアディック系における対称的測度が、唯一の完全にサポートされたエルゴード的不変測度として一意に特徴付けられるか？
• RQ4 パス対応および単調性の議論は、置換符号化が利用できない高次元版のオイラーアディック系へ拡張可能か？

主な発見

• 一般化されたオイラー数 $ A_{p,q}(i,j) $ は、公式 $ \sum_{t=0}^{i} (-1)^{i-t} \binom{p+q+t+1}{t} \binom{p+q+i+j+2}{i-t} (p+1+t)^{i+j} $ で与えられる。
• 比 $ \frac{A_{p,q}(i,j)}{A_{p,q-1}(i,j)} $ は $ j $ に関して非増加であり、不等式 $ \frac{A_{p,q}(i,j+1)}{A_{p,q-1}(i,j+1)} \leq \frac{A_{p,q}(i,j)}{A_{p,q-1}(i,j)} \leq \frac{q+j}{q+1+j} \cdot \frac{A_{p,q}(i+1,j)}{A_{p,q-1}(i+1,j)} $ を満たす。
• 極限 $ \lim_{i,j\to\infty} \frac{A_{p,q}(i,j)}{A_{0,0}(p+i,q+j)} = \frac{1}{(p+q+1)!} $ が成り立ち、これはエルゴード性の証明の中心的役割を果たす。
• $ i_n $ および $ j_n $ が両方とも無限大に発散するオイラー図形の無限パスは、すべて対称的測度の一般な点である。これは方向的の一意的エルゴード性を意味する。
• 対称的測度は、オイラー図形上のブラッテリ＝ヴェルシク系に対して、唯一の完全にサポートされた不変でエルゴード的であるBorel確率測度である。
• パス対応および単調性の技法は、置換に基づく符号化が機能しない高次元版のオイラーアディック系へも拡張可能であり、堅牢である。