[論文レビュー] The Euler and Chinese Postman Problems on 2-Arc-Colored Digraphs

Bin Sheng, Ruijuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2-弧彩色有向グラフ（CPP-2ACD）における中国の郵便配達問題を多項式時間で解くアルゴリズムを提示する。ここで、ウォークは適切に彩色されている（連続する弧が異なる色を持つ）必要がある。この手法は、適切に彩色されたオイラー路を有する2-弧彩色有向グラフの特徴付けに依拠し、問題を補助グラフにおける最小重み完全マッチングに還元することで、NP困難であるようなグラフにおける適切に彩色された閉路の検出とは対照的に、CPP-2ACDが多項式時間で解けることを確立する。

ABSTRACT

The famous Chinese Postman Problem (CPP) is polynomial time solvable on both undirected and directed graphs. Gutin et al. [Discrete Applied Math 217 (2016)] generalized these results by proving that CPP on $c$-edge-colored graphs is polynomial time solvable for every $c\geq 2$. In CPP on weighted edge-colored graphs $G$, we wish to find a minimum weight properly colored closed walk containing all edges of $G$ (a walk is properly colored if every two consecutive edges are of different color, including the last and first edges in a closed walk). In this paper, we consider CPP on arc-colored digraphs (for properly colored closed directed walks), and provide a polynomial-time algorithm for the problem on weighted 2-arc-colored digraphs. This is a somewhat surprising result since it is NP-complete to decide whether a 2-arc-colored digraph has a properly colored directed cycle [Gutin et al., Discrete Math 191 (1998)]. To obtain the polynomial-time algorithm, we characterize 2-arc-colored digraphs containing properly colored Euler trails.

研究の動機と目的

• 中国の郵便配達問題の多項式時間解法を、無向および有向グラフから2-弧彩色有向グラフへ拡張すること。
• 2-弧彩色有向グラフにおける適切に彩色された閉路の検出がNP困難であるという挑戦に直面しながらも、中国の郵便配達問題が依然として扱えるという事実を扱うこと。
• 2-弧彩色有向グラフにおける適切に彩色されたオイラー路の存在の必要十分条件を提供すること。
• 補助グラフにおける最小重み完全マッチングに還元することで、CPP-2ACDを多項式時間で解くアルゴリズムを開発すること。
• 2-辺彩色無向グラフにおけるKotzigの適切に彩色されたオイラー路の特徴付けを有向の場合へ一般化すること。

提案手法

• 適切に彩色されたオイラー路を有する2-弧彩色有向グラフを特徴付けるために、PCトレール連結性の概念を導入する。
• 2-弧彩色有向グラフが適切に彩色されたオイラー路を有するための必要十分条件は、PCトレール連結でありかつ色バランスが取れていることであると証明する。
• 各頂点における入弧集合と出弧集合を頂点とする補助二部グラフ H を構築し、エッジは最小重みをもつ妥当な適切に彩色されたトレールを表す。
• すべての弧をカバーする最小重み閉路の探索問題を、H における最小重み完全マッチングの計算に還元する。
• ハンガリアン法を用いて、O(|V(H)|³) 時間で最小重み完全マッチングを解き、多項式時間の複雑性を保証する。
• CPP-2ACD の最適解が、追加された弧を最小重みトレールに分解することにより、H における最小重み完全マッチングに対応し、逆にそれも成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-弧彩色有向グラフにおける中国の郵便配達問題は、そのようなグラフにおける適切に彩色された閉路の検出がNP困難であるにもかかわらず、多項式時間で解けるか？
• RQ2 どのような構造的条件が、2-弧彩色有向グラフにおける適切に彩色されたオイラー路の存在を保証するか？
• RQ3 CPP-2ACD は、最小重み完全マッチングのような既知の多項式時間解法が可能な問題に還元可能か？
• RQ4 PCオイラー2-弧彩色有向グラフの特徴付けを用いて、CPP-2ACD のための効率的なアルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 適切に彩色された閉路の検出がNP困難であるにもかかわらず、なぜ2-弧彩色ケースにおける中国の郵便配達問題は多項式時間で解けるのか？

主な発見

• 2-弧彩色有向グラフにおける中国の郵便配達問題（CPP-2ACD）は、そのようなグラフにおける適切に彩色された閉路の検出がNP困難であるにもかかわらず、多項式時間で解ける。
• 2-弧彩色有向グラフが適切に彩色されたオイラー路を有するための必要十分条件は、PCトレール連結でありかつ色バランスが取れていることである。
• CPP-2ACD の最適解は、入弧集合と出弧集合から構築された補助二部グラフ H における最小重み完全マッチングに対応する。
• ハンガリアン法を用いて、O(|V(H)|³) 時間で実行され、多項式時間の複雑性を保証する。
• この特徴付けは、Kotzigの2-辺彩色無向グラフに対する結果を有向の場合へ一般化する。
• 追加された弧を最小重み妥当トレールに分解することで、解における重複する閉路を回避し、最適性を保証する。