[論文レビュー] The Euler scheme for stochastic differential equations with discontinuous drift coefficient: A numerical study of the convergence rate

Simone Göttlich, Kerstin Lux+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、区分的定数のドリフト項と定数の拡散項を有する確率微分方程式（SDE）に対するオイラースキームの数値的収束性を調査し、収束速度がドリフト係数の性質および初期条件に強く依存することを示している。内部を向いたドリフトでは、エルゴード性のおかげで安定した高次収束が得られることを確立している一方、外部を向いたドリフトでは収束推定が不安定であり、これらの結果はランクベースの株式市場モデルを用いて検証されている。

ABSTRACT

The Euler scheme is one of the standard schemes to obtain numerical approximations of stochastic differential equations (SDEs). Its convergence properties are well-known in the case of globally Lipschitz continuous coefficients. However, in many situations, relevant systems do not show a smooth behavior, which results in SDE models with discontinuous drift coefficient. In this work, we will analyze the long time properties of the Euler scheme applied to SDEs with a piecewise constant drift and a constant diffusion coefficient and carry out intensive numerical tests for its convergence properties. We will emphasize on numerical convergence rates and analyze how they depend on properties of the drift coefficient and the initial value. We will also give theoretical interpretations of some of the arising phenomena. For application purposes, we will study a rank-based stock market model describing the evolution of the capital distribution within the market and provide theoretical as well as numerical results on the long time ranking behavior.

研究の動機と目的

• 不連続（区分的定数）ドリフト係数を有するSDEに対するオイラースキームの数値的収束挙動を分析すること。
• 収束速度がドリフト係数の性質（方向：内部/外部指向）およびジャンプの高さにどのように依存するかを調査すること。
• 初期値が収束の安定性および精度に与える影響を検討すること。
• 長期間のランク付けダイナミクスと滞在率に注目して、理論的発見をランクベースの株式市場モデルを用いて検証すること。
• 不規則な係数を有する文脈において、オイラースキームと高次スキームを比較し、それらの数値的性能を評価すること。

提案手法

• 本研究では、区分的定数ドリフトと加法的ノイズを有する時刻離散化SDEに対してオイラースキームを用い、$ dX_t = \sum_{j=1}^s \alpha_j \mathbbm{1}_{B_j}(X_t) dt + \sigma dW_t $ で定義される。
• 数値的収束速度は、$ \Delta = 2^{-14} $ の細かい時間刻みを用いた参照解と比較することで推定される。
• 特に内部を向いたドリフトの場合、マルコフ連鎖の理論を用いてオイラースキームのエルゴード性を分析し、長期的安定性の発生を検証する。
• ランクベースの株式市場モデルはオイラースキームを用いてシミュレートされ、長期間の資本配分と滞在率の動態が調査される。
• 離散滞在率の推定および解析的漸近値との比較のため、$ M = 10^3 $ 回のモンテカルロシミュレーションが用いられる。
• 高次スキーム（例：ミルシュタイン型）がテストされたが、不連続ドリフトに対しては収束挙動の改善が認められなかった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的定数ドリフトおよび定数拡散項を有するSDEに対するオイラースキームの実験的収束速度は何か？
• RQ2 ドリフト係数の性質（特に内部指向対外部指向）が、数値的収束推定の安定性および精度にどのように影響するか？
• RQ3 不連続ドリフトが存在する状況で、初期値が観察される収束速度にどの程度影響を及ぼすか？
• RQ4 オイラースキームはランクベースの株式市場モデルにおける長期間のランク付け行動をどの程度正確に捉えられるか？
• RQ5 不連続ドリフト係数を有するSDEに対して、高次数値スキームはオイラースキームを上回る性能を示すか？

主な発見

• 内部を向いたドリフト係数の下では、元のSDEおよびその近似のエルゴード性のおかげで、初期条件に依存せず安定した高次収束がオイラースキームで観察される。
• 外部を向いたドリフトの下では収束速度が不安定であり、数値実験において明確な漸近的領域に到達しない。
• ランクベースの株式市場モデルにおける離散滞在率は、時間区間 $ T $ が増加するにつれて解析的漸近値 $ 1/d = 1/3 $ に収束するが、初期資本の変動が小さいほど収束が速くなる。
• $ \Delta = 2^{-14} $ の場合、離散滞在率は4桁の精度で正確であり、$ \Delta = 2^{-10} $ の場合、90個の率のうちたった1つが5桁目で異なることから、さらなる刻み幅の細分化による利得は著しく減少することが示唆される。
• ミルシュタイン型のような高次スキームは、不連続ドリフトに対して収束挙動の向上をもたらさないため、単純さにもかかわらずオイラースキームが実用的であると考えられる。
• 解析的滞在率からの二乗偏差の和は、初期値 $ Y(0) $ の0.2116から $ T=1000 $ 時の0.0001に低下し、理論的極限への収束が確認された。