[論文レビュー] The Euler Series of Restricted Chow Varieties

Javier Elizondo|ArXiv.org|Aug 11, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、代数的トーラス作用をもつ射影代数的多様体に対して、制限されたチャウ多様体のオイラー級数を導入し、不変部分多様体が有限個である場合にその級数が有理的であることを証明する。滑らかな多様体の等周的設定への拡張により、有理的性の結果を確立し、有効サイクルのモノイド上のホモロジー類および畳み込み代数を用いて、射影空間やヒルツェブルーフ面などの明示的例を計算する。

ABSTRACT

Let X be an algebraic projective variety in {\bf P}^n. Denote by {\cal C}_λ the space of all effective cycles on X whose homology class is λ\in H_{2p} (X,{\bf Z}). It is easy to show that {\cal C}_λ is an algebraic projective variety. Let χ({\cal C}_λ be its Euler characteristic. Define the Euler series of X by E_{p} = \sum_{λ\in{C}} \, χ({\cal C}_λ λ \in \, {\bf Z}[[C]] where {\bf Z}[[C]] is the full algebra over {\bf Z} of the monoid C of all homology classes of effective p-cyles on X. This algebra is the ring of function (with respect the convolution product) over C. Denote by {\bf Z}[C] the ring of functions with finite support on C. We say that an element of {\bf Z}[[C]] is rational if it is the quotient of two elements in {\bf Z}[C]. If a basis for homology is fixed we can associated to any rationa element a rational function and therefore compute the Euler characteristic of {\cal C}_λ. We prove that E_p is rational for any projective variety endowed with an algebraic torus action in such a way that there are finitely many irreducible invariant subvarieties. If it is smooth we also define the equivariant Euler series and proved it is rational, we relate both series and compute some classical examples. The projective space {\bf P}^n, the blow up of {\bf P}^n at a point, Hirzebruch surfaces, the product of {\bf P}^n with {\bf P}^m.

研究の動機と目的

• 射影多様体上の有効サイクルの空間のオイラー特性を符号化する制限チャウ多様体のオイラー級数を定義し、その研究を行う。
• 特に代数的トーラス作用のもとで無限個でない不変部分多様体をもつ多様体において、この級数が有理的である条件を確立する。
• 滑らかな多様体に対してオイラー級数を等周的設定に拡張し、非等周的バージョンと関連付ける。
• 射影空間、ブローモー、ヒルツェブルーフ面などの古典的多様体について、オイラー級数の明示的例を計算する。

提案手法

• 射影多様体 $X$ 上の有効サイクルの空間としてのチャウ多様体 $\mathcal{C}_\lambda$ を、ホモロジー類 $\lambda \in H_{2p}(X, \mathbb{Z})$ を固定したものとして定義する。これは代数的射影多様体であることが示される。
• モノイド $C$ を有効 $p$-サイクル類のモノイドとするとき、環 $\mathbb{Z}[[C]]$ 内でオイラー級数 $E_p = \sum_{\lambda \in C} \chi(\mathcal{C}_\lambda) \cdot \lambda$ を構成する。
• 環 $\mathbb{Z}[[C]]$ 上の畳み込み代数構造を用いて、$\mathbb{Z}[C]$（有限な台を持つ関数の環）の元の商として有理的性を定義する。
• 多様体 $X$ が代数的トーラス作用をもち、その不変部分多様体が有限個であるとき、$E_p$ の有理的性を証明する。
• 滑らかな多様体に対して等周的オイラー級数を定義し、等周的チャーン類または局所化技術を用いて非等周的バージョンと関連付ける。
• 標準的な例について級数を明示的に計算する：$\mathbb{P}^n$、点での $\mathbb{P}^n$ のブローモー、ヒルツェブルーフ面、および積 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限チャウ多様体のオイラー級数が有理的である条件は何か？
• RQ2 有限個の不変部分多様体をもつトーラス作用が、オイラー級数の有理的性に与える影響は何か？
• RQ3 滑らかな射影多様体について、等周的と非等周的オイラー級数の関係は何か？
• RQ4 射影空間 $\mathbb{P}^n$ やヒルツェブルーフ面などの古典的代数的多様体について、オイラー級数を明示的に計算できるか？
• RQ5 有効サイクル類のモノイド上の形式的べき級数環における畳み込み代数構造は、有理的性の証明をどのように支援するか？

主な発見

• 任意の代数的トーラス作用をもち、不変部分多様体が有限個である射影多様体について、オイラー級数 $E_p$ は有理的である。
• 滑らかな多様体について、等周的オイラー級数も有理的であり、等周的と非等周的級数の間の明確な関係が確立される。
• $\mathbb{P}^n$、点での $\mathbb{P}^n$ のブローモー、ヒルツェブルーフ面、$\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ について、オイラー級数の明示的有理関数が計算される。
• $E_p$ の有理的性は、有効サイクル類のモノイドの構造と $\mathbb{Z}[[C]]$ 上の畳み込み代数を用いて証明され、有理的性は $\mathbb{Z}[C]$ の元の商として定義される。
• この構成により、各 $\lambda$ について関連する有理関数を用いてオイラー特性 $\chi(\mathcal{C}_\lambda)$ を計算できる。
• この枠組みは、トーラスの対称性の下で代数的およびホモロジー的データを用いて、チャウ多様体のオイラー特性を体系的に計算する方法を提供する。