[論文レビュー] The evaluation of Tornheim double sums. Part2

Olivier Espinosa, Victor H. Moll|ArXiv.org|Nov 4, 2008

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ひとこと要約

本稿は、偶数重み $N = m + n$ の形式 $T(m,0,n)$ のTornheim二重和に対して、明示的な解析的公式を提供する。これは、リーマンゼータ関数値の有理数線形結合、奇数 $j$ に対する積 $\zeta(j)\zeta(N-j)$、および対数ガンマ関数、ベルヌーイ多項式、クロステン関数を含む新しい種類の積分から成る。主な貢献は、すべての偶数重みTornheim和を最小基底積分 $Y_{2r,N-2r}^*$ に体系的に還元できることであり、高精度な数値評価を可能にする。

ABSTRACT

We provide an explicit formula for the Tornheim double series T(a,0,c) in terms of an integral involving the Hurwitz zeta function. For integer values of the parameters, a=m, c=n, we show that in the most interesting case of even weight N:=m+n the Tornheim sum T(m,0,n) can be expressed in terms of zeta values and the family of integrals % \int_0^1 loggamma(q) B_{k}(q) Cl_{j+1} (2 πq) dq, % with k+j = N, where B_{k}(q) is a Bernoulli polynomial and \Cl_{j+1}(x) is a Clausen function.

研究の動機と目的

• 実数パラメータ $a>2$, $c>2$ を用いて、Tornheim二重和 $T(a,0,c)$ の明示的解析的表現を、Hurwitzゼータ関数を含む積分を用いて導出すること。
• 整数パラメータ $m,n \geq 2$ に対して、極限手続きを適用することで、特に偶数重みケース $N = m + n$ に拡張すること。
• 与えられた偶数重み $N$ のすべてのTornheim和を、ゼータ関数値と最小基底積分 $Y_{2r,N-2r}^*$ の有理数線形結合として表現し、計算複雑性を低減すること。
• 既存の手法が失敗する $N \geq 8$ の未解決ケースを解消するため、$T(m,0,n)$ の評価に、既知のゼータ関数値と新しい積分を用いた体系的かつ包括的な手法を提供すること。

提案手法

• 実数 $a,c \notin \mathbb{N}$ で $a>2$, $c>2$ を満たす範囲で、Hurwitzゼータ関数を用いた $T(a,0,c)$ の積分表現を導出すること。
• 整数 $m,n \geq 2$ の $T(m,0,n)$ の表現を、極限手続きにより得ること。特に偶数重みケース $N = m + n$ に注目する。
• 核心的基盤をなす積分族 $X_{k,l} = (-1)^{\lfloor l/2 \rfloor} \frac{l!}{(2\pi)^l} \int_0^1 \log\Gamma(q) B_k(q) \operatorname{Cl}_{l+1}(2\pi q) \, dq$ を導入すること。
• ゼータ関数値および $\log 2\pi$ を含む対数項と組み合わせることで、$X_{k,l}$ を変形し、$Y_{m,n}^*$ を定義することで、偶数重みTornheim和の基底を形成すること。
• 恒等式 $T(m,n,0) = \zeta(m)\zeta(n)$ を用いて、Tornheim和同士の関係を生成し、基底集合への還元を可能にすること。
• すべての偶数重みTornheim和が、$\zeta(N)$、奇数 $j$ に対する $\zeta(j)\zeta(N-j)$、および $Y_{2r,N-2r}^*$ 積分の有理数線形結合として表現可能であることを確立し、基底要素の数が $\lfloor (N-2)/6 \rfloor$ で抑えられることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数重み $N = m + n$ のTornheim和 $T(m,0,n)$ に対して、特殊積分とゼータ関数値を用いて閉形式の表現を導出可能か？
• RQ2 特に $N \geq 8$ の場合、従来の手法が失敗するが、Tornheim和 $T(m,0,n)$ を最小基底積分に体系的に還元する方法は何か？
• RQ3 積分 $X_{k,l}$ 及びその修正版 $Y_{m,n}^*$ が $T(m,0,n)$ の表現に果たす役割は何か？また、これらは既知のゼータ関数とどのように関係しているか？
• RQ4 偶数 $N$ に対して、ゼータ関数値と有限個の基底積分からなる集合を用いて、Tornheim和空間 $\mathcal{Z}_N^0$ の構造を完全に特徴づけられるか？
• RQ5 与えられた偶数重み $N$ のすべての $T(m,0,n)$ を生成するのに必要な独立積分の最小数は何か？また、この数は $N$ と共にどのように変化するか？

主な発見

• 偶数重み $N$ に対して、すべてのTornheim和 $T(m,0,n)$ は、$\zeta(N)$、範囲 $3 \leq j \leq 2\lfloor (N-1)/4 \rfloor + 1$ 内の奇数 $j$ に対する積 $\zeta(j)\zeta(N-j)$、および $1 \leq r \leq \lfloor (N-2)/6 \rfloor$ の $Y_{2r,N-2r}^*$ 積分の有理数線形結合として表現可能である。
• 重み $N=10$ の場合、$T(10,0,2)$ は $-Y_{2,10}^* - 10\zeta(5)\zeta(7) - 10\zeta(3)\zeta(9) + \frac{792}{691}\zeta(12)$ として評価され、30桁の数値は約 0.645324784017496594071783081476 である。
• 重み $N=14$ の場合、生成集合 $G_{14}^* = \{\zeta(14), \zeta^2(7), \zeta(5)\zeta(9), \zeta(3)\zeta(11), Y_{2,12}^*, Y_{4,10}^*\}$ が、その重みのすべての $T(m,0,n)$ を表現するのに十分である。
• 積分 $Y_{2r,N-2r}^*$ は、$Y_{2r,N-2r}^* = Y_{2r,N-2r} + (2r-1)\binom{N-2}{2r-1} \zeta(N-1)\log 2\pi$ として定義され、ここで $Y_{2r,N-2r}$ はベルヌーイ多項式とクロステン関数を含む積分 $X_{k,l}$ を含む。
• 偶数重み $N$ の独立基底要素数は最大で $\lfloor (N-2)/6 \rfloor$ であり、$N=14$ の場合、この上限が達成され、ゼータ関数以外の基底積分が2つ必要となる。
• 本手法により、基底積分 $Y_{2r,N-2r}^*$ を事前に計算するだけで、各重みに対して少数の特殊積分の評価に帰着されるため、Tornheim和の高精度数値計算が可能になる。