[論文レビュー] The Evaluation Space of Logarithmic Stable Maps

Dan Abramovich, Qile Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、対数的安定写像の評価空間 $Ω X$ を構成し、最小対数的安定写像のモジュライスタック上での対数的評価写像および仮想基本類の定義を可能にする。主な貢献は、単純な正則的交差を持つ対数的滑らかでないデリーニュ＝ファルティングスの対数スキームの文脈において、これらの道具を用いて対数的グロモフ＝ウィトテン不変量を確立することにある。

ABSTRACT

The evaluation stack for minimal logarithmic stable maps is constructed, parameterizing families of standard log points in the target log scheme. This construction provides the ingredients necessary to define appropriate evaluation maps for minimal log stable maps and establish the logarithmic Gromov-Witten theory of a log-smooth Deligne- Faltings log scheme.

研究の動機と目的

• 細かく飽和した対数的スキームにおける標準的対数点の族の普遍的パラメータ空間を定義し、対数的グロモフ＝ウィトテン理論における評価写像を可能にする。
• 細かく飽和した対数的スキーム $(X, \mathcal{M}_X)$ における標準的対数点のカテゴリを表す対数的代数的スタック $(\wedge X, \mathcal{M}_{\wedge X})$ を構成する。
• 最小対数的安定写像に対して、評価写像 $\text{ev}_i: \mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X) \to \wedge X$ を定義する。
• 対数的滑らかさの仮定の下で、最小対数的安定写像のモジュライスタック $\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)$ に仮想基本類を確立する。
• 評価写像に沿ったコホモロジー類の引き戻しと仮想基本類との交差を用いて、対数的グロモフ＝ウィトテン不変量を定義する。

提案手法

• 細かく飽和した対数的スキーム $(X, \mathcal{M}_X)$ における標準的対数点の族のカテゴリ $\wedge'X$ を導入し、$\mathfrak{LogSch}^{\text{fs}}$ に沿ったファイバー化とする。
• $\wedge'X$ が対数的代数的スタック $(\wedge X, \mathcal{M}_{\wedge X})$ によって表されることを証明し、評価空間を確立する。
• 対数的安定写像をマークされた点に制限することで、自然な準同型 $\text{ev}_i: \mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X) \to \wedge X$ を構成する。このとき、対数的構造は標準的になる。
• Manolacheの精細引き戻しを用いて、完全な障害理論 $E. \to \mathbb{L}_{\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)/\mathcal{T}or_{\mathbb{C}}}$ を用いて仮想基本類 $[\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)]^{\text{vir}}$ を定義する。
• 基礎クラス $[\mathcal{T}or_{\mathbb{C}}]$ に精細引き戻し $\alpha^{!}_{\mathbb{E}}$ を適用し、対数的滑らかな場合の仮想クラスを導出する。
• 対数的グロモフ＝ウィトテン不変量を $\left<\gamma_1,\ldots,\gamma_n\right>^{(X,\mathcal{M}_X)}_\Gamma := \left(\prod_{i=1}^n \text{ev}_i^*\gamma_i\right) \cap [\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)]^{\text{vir}}$ として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対数的グロモフ＝ウィトテン理論における評価写像を可能にする、対数的スキームにおける標準的対数点の普遍的パラメータ空間を構築できるか？
• RQ2 細かく飽和した対数的スキームにおける標準的対数点の族のカテゴリが、代表する対数的代数的スタックをもつための条件は何か？
• RQ3 最小対数的安定写像が対数的滑らかなデリーニュ＝ファルティングスの対数的スキームに写像される場合、評価写像をどのように定義できるか？
• RQ4 最小対数的安定写像のモジュライスタックに仮想基本類が存在するための条件は何か？
• RQ5 評価写像と仮想基本類を用いて、対数的グロモフ＝ウィトテン不変量をどのように定義できるか？

主な発見

• $(X, \mathcal{M}_X)$ を細かく飽和した対数的スキームとするとき、標準的対数点の族のカテゴリ $\wedge'X$ は、対数的代数的スタック $(\wedge X, \mathcal{M}_{\wedge X})$ によって表される。
• 評価写像 $\text{ev}_i: \mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X) \to \wedge X$ は、対数的安定写像をマークされた点に制限することで構成され、このとき対数的構造は標準的になる。
• 対数的滑らかな場合、完全な障害理論と Manolache の精細引き戻しを用いて、モジュライスタック $\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)$ に仮想基本類 $[\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)]^{\text{vir}}$ が存在する。
• 仮想基本類は $[\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)]^{\text{vir}} = \alpha^{!}_{\mathbb{E}}[\mathcal{T}or_{\mathbb{C}}]$ として得られ、ここで $\alpha$ は $\mathbb{C}$ 上の fs 対数的構造のスタックへの構造写像である。
• 対数的グロモフ＝ウィトテン不変量は $\left<\gamma_1,\ldots,\gamma_n\right>^{(X,\mathcal{M}_X)}_\Gamma := \left(\prod_{i=1}^n \text{ev}_i^*\gamma_i\right) \cap [\mathcal{K}_\Gamma(X, \mathcal{M}_X)]^{\text{vir}}$ という式で定義される。
• この構成は、単純な正則的交差を持つ対数的滑らかなデリーニュ＝ファルティングスの対数的スキームの文脈における、対数的グロモフ＝ウィトテン理論の基盤を提供する。