[論文レビュー] The Evans-Krylov theorem for non local fully non linear equations

Luis Caffarelli, Luís Silvestre|ArXiv.org|May 8, 2009

Matrix Theory and Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\sigma \in (1,2)$ の完全非線形積分微分方程式に対して、エヴァンズ＝クリルヴの定理の非局所版を確立する。凹型で一様強楕円型な非局所方程式の解が、定義域の内部で Hölder 空間 $C^{\sigma+\alpha}$ に属することを証明する。この結果は、振動の改善とカーネルの滑らかさに関する仮定に基づく正則化手続きによって得られ、$\sigma \to 2$ の極限で古典的なエヴァンズ＝クリルヴの結果が回復される。定数は $\sigma \to 2$ の際に有界のまま保たれる。

ABSTRACT

We prove an interior regularity result for solutions of a purely integro-differential Bellman equation. This regularity is enough for the solutions to be understood in the classical sense. If we let the order of the equation approach two, we recover the theorem of Evans and Krylov about the regularity of solutions to concave uniformly elliptic partial differential equations.

研究の動機と目的

• 第二階微分型楕円項を含まない完全非線形積分微分方程式への古典的エヴァンズ＝クリルヴ正則性定理の拡張。
• $\sigma \in (1,2)$ の凹型で一様強楕円型な非局所方程式の解に対して、内部での $C^{\sigma+\alpha}$ 正則性の確立。
• $\sigma \to 2$ の極限において正則性推定値が一様に保たれ、古典的 $C^{2,\alpha}$ 結果が回復されることの証明。
• 第二階微分型 PDE 理論に依存しない非局所的手法を用いた、古典的エヴァンズ＝クリルヴの定理の新たな証明。

提案手法

• 証明は、方程式の非局所的性質に適合された、減少する球体の列上で行われる振動改善の議論に依存する。
• 著者らは、$\mathcal{L}_2$ に属するカーネルを用いて定義される最大作用素 $\mathrm{M}^+_{2}$ を用いる。このカーネルは原点を除き $C^2$ の滑らかさを要求し、$|y|^{-n-2-\sigma}$ のように減衰する。
• 重要なステップとして、バッファ関数を用いて特異部と滑らか部に分数ラプラシアンを分解する。
• 局所的部は、有界関数の分数ラプラシアンの $C^{\alpha}$ 正則性を用いた摂動的議論により制御される。
• 尾部（tail）は、カーネルの減衰性と、解がしきい値を超える集合の測度が小さいことを利用して推定される。
• この議論は、矛盾に基づく振動減衰に帰着され、解が内部で $\sigma+\alpha$ 正則性を獲得することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二階微分型楕円項を含まない完全非線形非局所方程式へ、エヴァンズ＝クリルヴ正則性定理を拡張できるか。
• RQ2 $\sigma \in (1,2)$ の凹型非局所ベルマン方程式の解に対して、最良の Hölder 正則性の向上は何か。
• RQ3 $\sigma \to 2$ の極限において正則性推定値が一様に保たれ、古典的 $C^{2,\alpha}$ 結果が回復可能か。
• RQ4 非局所的手法とカーネルの滑らかさ仮定を用いて、古典的エヴァンズ＝クリルヴの定理を再証明できるか。

主な発見

• 凹型で一様強楕円型な非局所方程式の解で、$\sigma \in (1,2)$ の場合、$\mathcal{L}_2$ に属するカーネルを仮定すれば、$B_{1/2}$ 内で $C^{\sigma+\alpha}(B_{1/2})$ に属する。
• 正則性推定値は $\sigma$ に関して一様で、$\sigma \to 2$ の際に定数が有界のまま保たれ、古典的エヴァンズ＝クリルヴの定理が極限で回復される。
• $C^{\sigma+\alpha}$ 正則性は解が古典的解であることを十分に示しており、方程式に現れるすべての積分が適切に定義され、解が点で $\sigma+\alpha$ Hölder 継続的であることを意味する。
• 双対性により、この結果は凸型作用素へも拡張可能であり、$-I(-u) = 0$ が $u$ に対しても同じ正則性をもたらす。
• $L^\infty$ ノルムが $B_{1/2}$ 内の $C^{\sigma+\alpha}$ 半ノルムを制御する。$\|u\|_{C^{\sigma+\alpha}(B_{1/2})} \leq C\|u\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}$ で、$C$ は普遍定数。
• グローバル有界性の仮定は、$u \in L^1(\mathbb{R}^n, (1+|y|)^{-\sigma})$ のような無限遠での緩やかな成長に弱めることが可能であるが、主な記述の簡素化のため $L^\infty$ ノルムが用いられている。