[論文レビュー] The evolution fractional p-Laplacian equation in $\mathbb{R}^N$. Fundamental solution and asymptotic behaviour

Juan Luís Vázquez|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p>2$ および $s\in(0,1)$ の条件下で $ℝ^N$ 上における進化分数マーチャル $p$-ラプラシアン方程式の適切性を確立し、各質量 $M$ に対して自己相似基本解を構成し、すべての有限質量解が $t\to\infty$ の際にすべての $L^q$ ノルムでこの基本解に収束することを証明し、可積分な初期データのクラスにおける漸近的吸引子としての役割を確立している。

ABSTRACT

We consider the natural time-dependent fractional $p$-Laplacian equation posed in the whole Euclidean space, with parameters $p>2$ and $s\in (0,1)$ (fractional exponent). We show that the Cauchy Problem for data in the Lebesgue $L^q$ spaces is well posed, and show that the solutions form a family of non-expansive semigroups with regularity and other interesting properties. As main results, we construct the self-similar fundamental solution for every mass value $M,$ and prove that general finite-mass solutions converge towards that fundamental solution having the same mass in all $L^q$ spaces.A number of additional properties and estimates complete the picture.

研究の動機と目的

• 進化分数マーチャル $p$-ラプラシアン方程式の初期値問題が $\mathbb{R}^N$ 上で $p>2$ および $s\in(0,1)$ を満たす場合に適切に定式化されることの確立。
• ディラックのデルタ初期データに対応する各質量 $M$ に対して自己相似基本解を構成すること。
• 一般の有限質量解が $t\to\infty$ の際に同じ質量の基本解にすべての $L^q$ 空間で収束することの証明。
• 解の正則性、非拡張的半群性質、および長時間における漸近的挙動の分析。

提案手法

• 主値積分を用いて定義される、非局所的エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{p,s}(u)$ 及びその劣微分 $\mathcal{L}_{s,p}$、すなわち $s$-分数マーチャル $p$-ラプラシアン作用素の使用。
• $L^q(\mathbb{R}^N)$ 空間における勾配流理論の適用により、$L^1(\mathbb{R}^N)$ 初期データに対する解の存在性と一意性の証明。
• スケーリング不変性を用いた自己相似解の構成および自己相似プロファイル方程式の導出。
• 比較原理およびエネルギー推定の使用により、$1\leq q\leq\infty$ の $L^q$ ノルムにおける収束の確立。
• 線形分数マーチャルの場合（$p=2$）および古典的 $p$-ラプラシアンの場合（$s=1$）の既知の結果を参照点として活用。
• F. del Tesoによる数値計算は、基本解の漸近的減衰挙動およびテイル推定の妥当性を支持している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 進化分数マーチャル $p$-ラプラシアン方程式が $p>2$ および $s\in(0,1)$ を満たす場合、初期データが $L^1(\mathbb{R}^N)$ に属するとき、初期値問題が適切に定式化されるか？
• RQ2 初期データがディラックのデルタである場合、各質量 $M$ に対して自己相似基本解を構成できるか？
• RQ3 すべての有限質量解が $t\to\infty$ の際に同じ質量の基本解に $L^q$ ノルムで収束するか？
• RQ4 解の正確な漸近的挙動、特に減衰速度およびテイル推定に関してはいかなるものか？
• RQ5 $1<p<2$ の場合と $p>2$ の場合とでは、特に解の存在性および漸近的挙動において理論にどのような差が生じるか？

主な発見

• 進化分数マーチャル $p$-ラプラシアン方程式の初期値問題は、すべての $L^q(\mathbb{R}^N)$ 空間（$1\leq q<\infty$）で適切に定式化され、解写像は非拡張的半群を形成する。
• すべての質量 $M>0$ に対して自己相似基本解が存在し、スケーリング不変性およびプロファイル方程式解析を用いて構成される。
• $t\to\infty$ の際に、すべての有限質量解が同じ質量の基本解に $L^q$ ノルムで収束する。$1\leq q\leq\infty$ のすべての $q$ に対して成り立つ。
• 基本解は無限遠でべき則的減衰を示し、数値的証拠により $F(x)\sim C|x|^{-(N+sp)}$ の漸近的挙動が示唆されている。
• 自己相似基本解の一意性は確立されているが、一般の基本解の一意性は未解決のままである。
• 漸近的収束結果は、すべての $q$ に対して $L^q$ で一様に成り立つため、基本解が強い吸引子としての性質を示している。