[論文レビュー] The evolution of unavoidable bi-chromatic patterns and extremal cases of balanceability

Yair Caro, Adriana Hansberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全グラフ $K_n$ における避けられない二色辺彩色パターンを、各色の最小エッジ数の関数として特徴づける。これは、制約なし（ラマヌジャン型）から平衡彩色（$|e(R)-e(B)|\leq1$）までを含む。各色に線形に多くのエッジがある場合、誘導された単色星形 $K_{1,t}$ またはマッチング $tK_2$ が避けられなくなる。さらに制限（例えば、大きな誘導マッチングの禁止）を加えると、極値的なパターンがより早く現れ、バランス数 $ obreakbreak ext{bal}(n,G)$ への応用が得られる。このバランス数は、$G$ に応じて $ obreakbreak ext{bal}(n,G) = \Omega(n^{2-\varepsilon})$ である場合もあれば、定数である場合もある。結果は、同様の避けられない構造を持つ多色ラマヌジャン設定へも拡張可能である。

ABSTRACT

We study the color patterns that, for $n$ sufficiently large, are unavoidable in $2$-colorings of the edges of a complete graph $K_n$ with respect to $\min \{e(R), e(B)\}$, where $e(R)$ and $e(B)$ are the numbers of red and, respectively, blue edges. More precisely, we determine how such unavoidable patterns evolve from the case without restriction in the coloring, namely that $\min \{e(R), e(B)\} \ge 0$ (given by Ramsey's theorem), to the highest possible restriction, namely that $|e(R) - e(B)| \le 1$. We also investigate the effect of forbidding certain sub-structures in each color. In particular, we show that, in $2$-colorings whose graphs induced by each of the colors are both free from an induced matching on $r$ edges, the appearance of the unavoidable patterns is already granted with a much weaker restriction on $\min \{e(R), e(B)\}$. We finish analyzing the consequences of these results to the balancing number $bal(n,G)$ of a graph $G$ (i.e. the minimum $k$ such that every $2$-edge coloring of $K_n$ with $\min \{e(R), e(B)\} > k$ contains a copy of $G$ with half the edges in each color), and show that, for every $\varepsilon > 0$, there are graphs $G$ with $bal(n,G) \ge c n^{2-\varepsilon}$, which is the highest order of magnitude that is possible to achieve, as well as graphs where $bal(n,G) \le c(G)$, where $c(G)$ is a constant that depends only $G$. We characterize the latter ones.

研究の動機と目的

• 各色の最小エッジ数の関数として、$K_n$ における避けられない二色辺彩色パターンを特定すること。
• 古典的ラマヌジャン設定から、$|e(R)-e(B)|\leq1$ となる完全に平衡された状況へと、避けられないパターンがどのように変化するかを調査すること。
• 与えられたサイズの誘導単色マッチングの禁止が、避けられないパターンの出現に与える影響を分析すること。
• バランス数 $\operatorname{bal}(n,G)$ の極値的挙動を特徴づけ、$\Omega(n^{2-\varepsilon})$ である場合もあれば、$G$ に応じて定数である場合もあることを示すこと。
• 各色クラスに線形エッジ数と特定の誘導部分グラフの禁止がある場合の多色エッジ彩色への一般化を検討し、避けられない単色構造を同定すること。

提案手法

• 各色のエッジ数の最小値 $\min\{e(R),e(B)\}$ を根拠に、$K_n$ の2色エッジ彩色における避けられないパターンを、ラマヌジャン的およびツラーン型極値グラフ理論を用いて分析する。
• 色クラス内のクリーク間で単色完全二部グラフ部分グラフを強制するために、二部ラマヌジャン数 $BR(k;t)$ を適用する。
• 頂点集合の再帰的構成を用いて単色クリークおよび二部構造を分離し、所定のタイプの誘導部分グラフを保証する。
• 複数のクリークが単色で接続される多色構成を記述するための $\mathcal{F}^k_t$ 家族の概念を導入する。
• 定理2.9における定数 $c(t) = C(q,q)$ を用い、各色クラスに誘導された $K_{1,q}$ または $qK_2$ が存在することを保証する。
• エドーシュ＝ヘイナル型フレームワークによる極値境界を適用し、サイズ $t$ の誘導マッチングを禁止することで、線形エッジ閾値で避けられないパターンが生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各色の最小エッジ数 $\min\{e(R),e(B)\}$ が $n$ に対して線形であるとき、$K_n$ の2色エッジ彩色において避けられない二色パターンは何か？
• RQ2 避けられないパターンは、非平衡状況（ラマヌジャン設定）から完全に平衡された状況（$|e(R)-e(B)|\leq1$）へとどのように変化するか？
• RQ3 サイズ $t$ の誘導単色マッチングの禁止が、避けられない色パターンの出現に与える影響は何か？
• RQ4 どのグラフ $G$ に対してバランス数 $\operatorname{bal}(n,G)$ が定数で有界となり、どのグラフに対して $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ となるか？
• RQ5 各色クラスに線形エッジ数があり、特定の誘導部分グラフを避ける場合、多色一般化において避けられないパターンはどのような構造をとるか？

主な発見

• 各色の最小エッジ数 $\min\{e(R),e(B)\} = \Omega(n)$ であれば、各色クラスにおいて誘導された単色星形 $K_{1,t}$ または誘導マッチング $tK_2$ が避けられなくなる。
• 各色でサイズ $t$ の誘導マッチングを禁止すると、避けられないパターンは $\min\{e(R),e(B)\} = \Omega(n)$ で既に現れ、$\Omega(n^{2-\varepsilon})$ エッジを要する必要はなくなる。
• バランス数 $\operatorname{bal}(n,G)$ は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\operatorname{bal}(n,G) = \Omega(n^{2-\varepsilon})$ を満たし、これが最大のオーダーとなることが示された。
• $\operatorname{bal}(n,G) \leq c(G)$ となるようなグラフ $G$ が存在し、ここで $c(G)$ は $G$ のみに依存する定数であり、これらは色クラスが大きな誘導マッチングを避ける場合に特徴づけられる。
• $k$-色彩色で $\min\{|f^{-1}(i)|\} \geq c(k,r,t)$ であれば、誘導された $K_{1,t}$ または $tK_2$ を含む色の集合 $A_f$ は空でなく、残りの色は $A_f$ の色で単色接続されたクリークを形成し、$K_{t,t}$-に似た構造をなす。
• 避けられないパターンの極値閾値は鋭い：各色に $\Omega(n)$ エッジしかない場合、$K_{1,t}$ または $tK_2$ が誘導部分グラフとして現れ、部分線形エッジ数ではその保証は成り立たない。