[論文レビュー] The exact asymptotic for the stationary distribution of some unreliable systems

Paweł Lorek|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、不安定なM/M/1キューと、1台の不安定サーバーとフィードバックを備えた2サーバーシステムという2つの不安定キューイングシステムの定常分布の正確な漸近的挙動を導出する。マルコフ加法過程とAdan, Foley, McDonaldの手法を用い、到着率とサービス率に応じて2つの異なる大偏差領域を特定する。シミュレーションにより、顧客の蓄積がサーバーの稼働状態または停止状態に依存して発生することが確認された。

ABSTRACT

In this paper we find asymptotic distribution for some unreliable networks. Using Markov Additive Structure and Adan, Foley, McDonald method, we find the exact asymptotic for the stationary distribution. With the help of MA structure and matrix geometric approach, we also investigate the asymptotic when breakdown intensity is small. In particular, two different asymptotic regimes for small breakdown intensity suggest two different patterns of large deviations, which is confirmed by simulation study.

研究の動機と目的

• マーキov変調された挙動を示す不安定キューイングシステムの定常分布の正確な漸近的形を導出すること。
• 故障強度が顧客蓄積における大偏差に与える影響を分析し、稼働状態または停止状態がキュー成長を支配する領域を明確にすること。
• 従来の漸近的結果が限界的である不安定サーバーを有するシステムに、Adan-Foley-McDonald手法を拡張すること。
• 単一の不安定サーバーと、フィードバックを有する2サーバーシステムの2つのモデルの挙動を比較すること。
• シミュレーションを用いて理論的結果を検証し、システムパラメータに応じた明確な大偏差パターンの存在を示すこと。

提案手法

• キュー長とサーバー状態（稼働／停止）の連合動的挙動をモデル化するため、マルコフ加法過程（MAP）フレームワークの適用。
• 異なるパrameter領域における定常分布の漸近的挙動を分析するため、h変換とFeynman-Kacカーネルの使用。
• 故障強度α → 0の極限系を分析するため、行列幾何的手法（Neuts）の採用。特に、Adan-Foley-McDonald手法が失敗する場合に有効である。
• バランス方程式を解き、母関数とスペクトル解析を用いて減衰率を分析することで、定常確率の正確な漸近的表現を導出。
• ハーモニック関数の境界を付与し、可積分性条件の検証を行うために、モデル2とロス領域系（SauerとDaduna）とのカップリングを構築。
• ロス領域からの積分形定常分布と確率的優位性を用いて、キーポイントとなる可積分性条件（5）の検証

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キュー長が増加する際、不安定M/M/1キューの定常分布はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 不安定システムにおける明確な大偏差パターンは何か？ そして、サービス率μと到着＋修復率λ+βの関係にどのように依存するか？
• RQ3 μ > λ + βのとき、なぜAdan-Foley-McDonald手法は極限系に対して有効な漸近的表現を導けないのか？
• RQ4 2サーバーシステムにフィードバックが存在する場合、単一の不安定サーバーと比較して漸近的挙動はどのように変化するか？
• RQ5 h変換手法が失敗する場合でも、行列幾何的手法が極限状態でM/M/1キューと同一の漸近的形を回復できるか？

主な発見

• モデル1（不安定M/M/1）において、μ < λ + βのとき、定常分布はM/M/1と同様に減衰し、長時間の稼働期間に起因する長大な上昇と顧客蓄積が主因となる。
• μ > λ + βのときも、定常分布は依然としてM/M/1と同様に減衰するが、大偏差は長時間の停止期間に起因し、サーバーが故障中である間に顧客が蓄積される。
• モデル2（フィードバック付き2サーバーシステム）において、Adan-Foley-McDonald手法は極限系に対して有効な漸近的表現を導けず、構造的複雑性のため行列幾何的手法も適用不能である。
• 漸近的解析に用いられるハーモニック関数は、稼働状態では(λ/μ)^y γ₁^y、停止状態では(λ/μ)^y γ₁^kと成長し、γ₁ < 1により可積分性が保証される。
• 可積分性条件（5）は、モデル2とロス領域系とのカップリングにより検証され、モデル2の定常分布が積分形系の定常分布により確率的に優位であることが示された。
• シミュレーションにより、2つの明確な大偏差パターンが確認された：μ < λ + βでは稼働状態のキュー蓄積が主因、μ > λ + βでは停止状態の蓄積が主因となる。