[論文レビュー] The excedances and descents of bi-increasing permutations

Astrid Reifegerste|ArXiv.org|Dec 18, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、321を避ける置換として定義される二重増加置換と、平行四辺形多ポリノミオと2-モーツキン経路の2つのクラスの格子路との間で、深い組合せ的関係を確立する。二重増加置換における超過数と超過差の連続分布が、変換 (e, k) ↦ (n−1−e, n−1−2e+k) に対して対称であることを証明し、多ポリノミオ変換と反転統計を用いた双対的証明を提示することで、既知の文献に登場するいくつかの双対写像を統一する。

ABSTRACT

Starting from some considerations we make about the relations between certain difference statistics and the classical permutation statistics we study permutations whose inversion number and excedance difference coincide. It turns out that these (so-called bi-increasing) permutations are just the 321-avoiding ones. The paper investigates their excedance and descent structure. In particular, we find some nice combinatorial interpretations for the distribution coefficients of the number of excedances and descents, respectively, and their difference analogues over the bi-increasing permutations in terms of parallelogram polyominoes and 2-Motzkin paths. This yields a connection between restricted permutations, parallelogram polyominoes, and lattice paths that reveals the relations between several well-known bijections given for these objects (e.g. by Delest-Viennot, Billey-Jockusch-Stanley, Francon-Viennot, and Foata-Zeilberger). As an application, we enumerate skew diagrams according to their rank and give a simple combinatorial proof for a result concerning the symmetry of the joint distribution of the number of excedances and inversions, respectively, over the symmetric group.

研究の動機と目的

• 二重増加置換の組合せ的構造を調査すること。ここで二重増加置換とは、反転数と超過差が一致する置換として定義される。
• これらの置換における超過統計と降下統計の連続分布を調査すること。
• 二重増加置換と平行四辺形多ポリノミオとの間の双対写像を確立し、重要な統計を保存すること。
• 格子路と多ポリノミオの共通の枠組みを通じて、既知の双対写像（例えばDelest-Viennot、Foata-Zeilberger）を統合すること。
• 対称群 Sₙ 上での超過数と超過差の連続分布における対称性を証明すること。

提案手法

• 二重増加置換がちょうど321を避ける置換であるという特徴づけを用いる。
• サイクル分解と反転の追跡を経て、置換からステップ多ポリノミオへ、そしてそれから平行四辺形多ポリノミオへと変換する。
• 得られる平行四辺形多ポリノミオの対角長 a₁,…,aₙ を定義し、反転類 [π] のサイズ |[π]| を積 a₁a₂⋯aₙ として計算する。
• 平行四辺形多ポリノミオに反射による対合を適用することで、超過と超過差の連続分布における対称性を証明する。
• 二重増加置換上では、超過差 dexc(π) が反転数 inv(π) に等しいという事実を活用する。
• 既知の双対写像（例えばDelest-Viennot、Françon-Viennot）を用いて、統計を2-モーツキン経路に関連させ、組合せ的解釈を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重増加置換における超過と降下の正確な組合せ的関係は何か？
• RQ2 二重増加置換における超過数と超過差の連続分布は、どのように格子路を通じて解釈できるか？
• RQ3 なぜ二重増加置換における超過と超過差の連続分布に対して、変換 (e, k) ↦ (n−1−e, n−1−2e+k) の対称性が成立するのか？
• RQ4 既知の置換、多ポリノミオ、格子路の間の双対写像は、統計 dexc と ddes を用いた統一的枠組みで統合可能か？
• RQ5 反転類 [π] のサイズ |[π]| と関連する平行四辺形多ポリノミオの対角長との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 二重増加置換の集合は、ちょうど321を避ける置換の集合に一致する。
• すべての二重増加置換 π に対して、超過差 dexc(π) は反転数 inv(π) に等しい。
• 二重増加置換 π の反転類 [π] のサイズ |[π]| は、対応する平行四辺形多ポリノミオの対角長 a₁a₂⋯aₙ の積に等しい。
• 二重増加置換における超過数と超過差の連続分布は、対称性 Sₙ^(exc,dexc)(e,k) = Sₙ^(exc,dexc)(n−1−e, n−1−2e+k) を満たす。
• この対称性は、対角長を保存し、統計を適切に交換する平行四辺形多ポリノミオ上の反射対合を通じて証明される。
• この結果は、対称群 Sₙ 全体における超過数と反転数の連続分布に対応する対称性を示唆する。