[論文レビュー] The exceptional holonomy groups and calibrated geometry

Dominic Joyce|ArXiv.org|Jun 1, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$G_2$ および $Σ𝕁⁷$ の例外的ホロノミー群について、幾何的構造およびキャリブレーションされた部分多様体—特にアソシオエイティブ3-fold、コーモソシオエイティブ4- fold、およびカイリー4- fold—を包括的に調査する。コホモロジー的条件 $φ$ が閉じていることにより、コーモソシオエイティブ4- fold は非遮断的変形理論を有することが示され、一方アソシオエイティブおよびカイリー部分多様体は楕円型変形作用素に従い、インデックス理論的障害を受ける。

ABSTRACT

The exceptional holonomy groups are G2 in 7 dimensions, and Spin(7) in 8 dimensions. Riemannian manifolds with these holonomy groups are Ricci-flat. This is a survey paper on exceptional holonomy, in two parts. Part I introduces the exceptional holonomy groups, and explains constructions for compact 7- and 8-manifolds with holonomy G2 and Spin(7). The simplest such constructions work by using techniques from complex geometry and Calabi-Yau analysis to resolve the singularities of a torus orbifold T^7/G or T^8/G, for G a finite group preserving a flat G2 or Spin(7)-structure on T^7 or T^8. There are also more complicated constructions which begin with a Calabi-Yau manifold or orbifold. Part II discusses the calibrated submanifolds of G2 and Spin(7)-manifolds: associative 3-folds and coassociative 4-folds for G2, and Cayley 4-folds for Spin(7). We explain the general theory, following Harvey and Lawson, and the known examples. Finally we describe the deformation theory of compact calibrated submanifolds, following McLean.

研究の動機と目的

• 7次元および8次元幾何における、特に $G_2$ および $Σ𝕁⁷$ を対象とした、例外的ホロノミーを有するリーマン多様体の理論を体系化し、サーベイすること。
• 著者の独自の研究に焦点を当て、オルビフォールドと解消技術によるコンパクト化を用いた、コンパクトな $G_2$-および $Σ𝕁⁷$-多様体の構成を説明すること。
• $G_2$-および $Σ𝕁⁷$-多様体内におけるキャリブレーションされた部分多様体—アソシオエイティブ、コーモソシオエイティブ、およびカイリー—の分析を、その幾何的定義と位相的不変量を含めて行うこと。
• これらのキャリブレーションされた部分多様体の変形理論を発展・明確化し、特に閉じたキャリブレーション形式がモジュライ空間の非遮断的性を保証する役割を強調すること。
• ハーヴェイ＝ローワンおよびマクリーンの基礎的結果を統合し、$G_2$-幾何の文脈に拡張し、モジュライ空間および家族変形への応用を提示すること。

提案手法

• ベルジャーによるリーマンホロノミー群の分類を用い、$G_2$ および $Σ𝕁⁷$ が2つの例外的ケースとして特定され、平行微分形式の存在によってホロノミーが決定されることを示す。
• ホロノミー原理を適用：テンソルが平行であることと、ホロノミー群によって固定されることとは同値であり、幾何的不変量とホロノミー表現を結びつける。
• ジョイスの方法による特異点の解消を用い、$G_2$-特異点を有するオルビフォールドの解体により、コンパクトなリッチ平坦多様体を構成する。
• 部分多様体上でキャリブレーション形式が消えることでキャリブレーションされた部分多様体を定義する：アソシオエイティブ3- fold は $φ|_N = 0$ を満たし、コーモソシオエイティブ4- fold は $G_2$-幾何において $φ|_N = 0$ を満たす。
• 楕円型作用素を用いた変形理論の分析：コーモソシオエイティブ4- fold では、$φ$ が閉じているという条件により、過剰決定系が楕円型で決定的になる。これにより非遮断的変形が可能となる。
• アティヤ＝サイトンのインデックス定理を適用し、変形作用素 $D_N$ のインデックスを用いて、アソシオエイティブおよびカイリー部分多様体のモジュライ空間の仮想次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな $G_2$-および $Σ𝕁⁷$-ホロノミー多様体が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ2 アソシオエイティブ、コーモソシオエイティブ、およびカイリー部分多様体は、$G_2$-および $Σ𝕁⁷$-多様体内においてどのように最小部分多様体として現れるか？
• RQ3 なぜキャリブレーション形式 $φ$ の閉じていることが、コーモソシオエイティブ4- fold の非遮断的変形理論にとって本質的なのか？
• RQ4 コンパクトなコーモソシオエイティブ4- fold が、$φ$ が閉じていない $G_2$-多様体の1パラメータ族を通じて変形可能となる条件は何か？
• RQ5 変形作用素 $D_N$ のインデックスが、アソシオエイティブおよびカイリー部分多様体のモジュライ空間の次元と滑らかさをどのように決定するか？

主な発見

• コーモソシオエイティブ4- fold は、$φ$ が閉じていることにより独立な方程式の数が4から3に減少し、系が有効に楕円型かつ決定的になるため、非遮断的変形理論を有する。
• コーモソシオエイティブ4- fold のモジュライ空間は、定理6.1により、第1ベッチ数 $b^1(N)$ に等しい次元の局所的滑らかな多様体である。
• 1パラメータ族の $G_2$-多様体に対して、コンパクトなコーモソシオエイティブ4- fold $N_0$ が族 $N_t$ に拡張可能であるための必要十分条件は、$[φ_t|_{N_0}] = 0$ が $H^3(N_0, ℝ)$ 内に成り立つことである。これは定理6.2で述べられている。
• アソシオエイティブ3- fold およびカイリー4- fold の変形理論は、1階楕円型作用素 $D_N$ に従い、障害空間は $D_N$ の余核と同型である。
• アソシオエイティブ3- fold のモジュライ空間の仮想次元は、$D_N$ が自己随伴的でないため0である。一方、カイリー4- fold の場合は $\tau(N) - \frac{1}{2}\chi(N) - \frac{1}{2}[N]\cdot[N]$ で与えられる。
• 一般的な状況では、障害空間 $\mathop{\rm Coker} D_N$ は消え、$D_N$ のインデックスに等しい次元の滑らかなモジュライ空間が得られる。これは他の幾何的変形理論の期待と整合的である。