[論文レビュー] The existence and decay rates of strong solutions for Navier-Stokes Equations in Bessel-potential spaces

D. Q. Khai|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$1 < p \leq d$ に対して、3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強解の存在および最適な減衰率を、臨界ベッセル・ポテンシャル空間 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ において確立する。時間重み付きノルムを備えた関数空間における最大正則性推定と固定点議論を用いて、初期データが小さい場合のグローバル存在を証明し、時間および空間の両方における高階導関数の明確な減衰率を導出する。これは、$L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$、$L^3$ 空間における既知の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we prove some results on the existence and decay properties of high order derivatives in time and space variables for local and global solutions of the Cauchy problem for the Navier-Stokes equations in Bessel-potential spaces.

研究の動機と目的

• 臨界ベッセル・ポテンシャル空間 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ において、$1 < p \leq d$ の条件下で、初期データが小さい場合の3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対するグローバル強解の存在を確立すること。
• これらの関数空間における速度場および圧力場の高階空間的・時間的導関数の明確な減衰率を導出すること。
• $L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$、$L^3$ 空間における既知の減衰結果を、より広い臨界ベッセル・ポテンシャル空間のクラスへと拡張すること。
• ローレンツ空間、ソボレフ＝フーリエ＝ローレンツ空間、および混合ノルム空間における減衰に関する先行研究を、より一般なベッセル・ポテンシャル空間の枠組み内で統一・一般化すること。

提案手法

• 高階導関数の時間重み付き $L^q$ ノルムによって定義される時間重み付き関数空間 $\mathcal{K}^{s}_{q,T}$ において、ナビエ＝ストークス方程式を固定点問題として形式化すること。
• ストークス半群に対する最大正則性推定を適用し、演算子 $\dot{\Lambda}^s = (-\Delta)^{s/2}$ を用いて、ベッセル・ポテンシャルノルムにおける解の正則性を制御すること。
• ダムエルの原理を用いて、弱解を $u = e^{t\Delta}u_0 - B(u,u)$ の形に書き表し、ここで $B$ は非線形項 $u \otimes u$ を含む二重線形項である。この項は補間および積の法則を用いて推定する。
• 時間重み付き $L^q$ 推定 $t^{\frac{1}{2}(s+1 - \frac{d}{q})}\|\dot{\Lambda}^s u\|_{L^q} < \infty$ を用いて、導関数の減衰挙動を制御すること。
• 初期データノルム $\|u_0\|_{\dot{B}^{\frac{d}{\tilde{q}}-1,\infty}_{\tilde{q}}}$ と熱伝搬作用素 $\|e^{t\Delta}u_0\|_{\mathcal{K}^{0}_{\tilde{q},\infty}}$ のノルムの等価性を確立することで、小規模な初期データに対するグローバル存在を保証すること。
• $L^3$ での減衰とより大きなローレンツ型空間への埋め込みを組み合わせることで、$t \to \infty$ のとき $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}$-ノルムにおける解の減衰を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス系は、$1 < p \leq d$ に対して、臨界ベッセル・ポテンシャル空間 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ においてグローバル強解を有するか？
• RQ2 このような解について、時間および空間の両方における高階導関数 $D_x^\alpha D_t^{\alpha_0}u$ および $D_x^\alpha p$ の最適な減衰率は何か？
• RQ3 $L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$、$L^3$ における減衰結果は、ベッセル・ポテンシャル空間の枠組み内で拡張され統合可能か？
• RQ4 時間重み付きノルムを備えた $\mathcal{K}^{s}_{q,T}$ 空間における推定は、臨界正則性領域における解の存在および減衰をどのように制御するか？

主な発見

• 初期データが $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ に属する小さい値である場合、$1 < p \leq d$ の下で強解のグローバル存在が確立され、$L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$、$L^3$ における既存の結果を拡張する。
• 任意の $q \geq 2$、$s \geq 0$、$\frac{d}{p} - 1 \leq s < \frac{d}{2}$ に対して、$t \to \infty$ のとき $t^{\frac{1}{2}(s+1 - \frac{d}{q})}\|\dot{\Lambda}^s u\|_{L^q} \to 0$ となる減衰推定を満たす。
• 任意の整数 $l$ に対して、$q \geq d$、$|\alpha| + 2\alpha_0 \leq l$ の下で、$t^{\frac{1}{2}(|\alpha| + 1 + 2\alpha_0 - \frac{d}{q})}\|D_x^\alpha D_t^{\alpha_0} u\|_{L^q} < \infty$ が時間に一様に成り立つ。これは高階導関数の鋭い減衰率を示している。
• 圧力場は $t^{\frac{1}{2}(s+2 - \frac{d}{q})}\|\dot{\Lambda}^s p\|_{L^q} < \infty$ と同様の減衰挙動を示し、高階導関数に対しても同様の減衰が成立する。
• $t \to \infty$ のとき、$\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}$-ノルムにおいて解がゼロに減衰する。これは、$L^3$ および $\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ における既知の減衰を一般化するものである。
• 時間重み付き推定と補間を用いたブートストラップ議論により、低階ノルムにおける減衰が高階ノルムにおける減衰を示すことを証明する。