[論文レビュー] The Existence of Dominating Local Martingale Measures

Peter Imkeller, Nicolas Perkowski|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、局所有界なセミマーティンググレ過程の価格過程に対して、第一種アービタージュ機会の不在（NA1）が、支配的局所 martingale 測度の存在と同値であることを確立する。証明は、非負の上マルティンゲールからFöllmerの測度構成を活用し、積空間上のネットに基づくコンパクト性の議論を用いて、非完全なフィルトレーションに対しても資産価格理論の基本定理を拡張する。

ABSTRACT

We prove that, for locally bounded processes, absence of arbitrage opportunities of the first kind is equivalent to the existence of a dominating local martingale measure. This is related to and motivated by results from the theory of filtration enlargements.

研究の動機と目的

• 局所有界な価格過程を有する連続時間金融市場における第一種アービタージュ機会の不在（NA1）の特徴づけ。
• 完全なNFLVR条件を超えて、NA1に注目することで、資産価格理論の基本定理をNFLVRより一般化すること。
• フィルトレーションがP-完全でない場合でも、NA1のもとで支配的局所martingale測度の存在を確立すること。
• 非完全なフィルトレーションに対し、古典的な拡大理論の結果を適応し、測度論的構成の頑健性を保証すること。
• 無限大のリターンを有界なリスクで得られる市場において、価格設定とヘッジのための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 非負の上マルティンゲールに付随するFöllmerの測度を用いて、支配的局所martingale測度を構成する。
• 可測変数の可算族上の積位相におけるネットに基づくコンパクト性を適用し、非距離化空間における凸コンパクト性を証明する。
• 選択公理を用いて、部分列に沿った収束を保証する凸結合を選択し、極限過程の存在を保証する。
• P-完全でないフィルトレーションの枠組み内で作業し、右連続性およびオプショナル／予測可能σ代数に依存して、確率積分の整合性を維持する。
• λ-適正戦略の概念を用いて、下限リスクが有界な資産価格過程を定義し、最終資産価格の収束を保証する。
• NA1と1-適正戦略下での最終資産価格過程の確率的有界性との同値性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配的局所martingale測度の存在が、第一種アービタージュ機会の不在を特徴づける条件は何か？
• RQ2 完全なNFLVRが成り立たない状況において、NA1が成り立つ場合に、資産価格理論の基本定理をNFLVRを超えてどのように拡張できるか？
• RQ3 Föllmerの測度構成を、完全でないフィルトレーションに適応しても、新たな測度下でのmartingale性を失うことなく適用可能か？
• RQ4 積空間における凸コンパクト性は、支配的測度の存在証明においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 フィルトレーションの完全化の下で、オプショナルおよび予測可能過程の性質はどのように変化するか？また、これにより確率積分にどのような影響があるか？

主な発見

• 局所有界なセミマルティンゲールに対して、第一種アービタージュ機会の不在（NA1）は、支配的局所martingale測度の存在と同値である。
• 支配的測度の構成は、非負の上マルティンゲールから導かれるFöllmerの測度に依存しており、この測度は元の確率測度に関して絶対連続であることを保証する。
• 本論文は、1-適正戦略からの最終資産価格の集合が、確率的に有界であることとNA1が同値であることを証明しており、これが同値性の中心的根拠である。
• 非完全なフィルトレーションでも、フィルトレーションが右連続であれば、支配的局所martingale測度の存在は保たれる。
• 積位相におけるネットの使用は、凸コンパクト性の証明に不可欠であり、この文脈では逐次的コンパクト性では不十分である。
• 本研究は、DelbaenとSchachermayerの先行研究を一般化し、NFLVR条件をNA1に緩和することで、資産価格理論の基本定理の適用範囲を拡大した。