[論文レビュー] The Existence of Supersymmetric String Theory with Torsion

Jun Li, Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|Nov 12, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、U(4)およびU(5)バンドルを備えたカルラヤ三重多様体の可縮性接続を摂動することにより、ねじれを伴う超対称的ストリング理論のストリングラーゲン系の、これまでに知られていた唯一の非可約で正則な解を確立した。変形理論とコーディア・スペンサー類に対する非退化性条件を用いて、非自明なドライヴン場およびゲージ場を伴うストリングラーゲン系の解をもつ滑らかな複素構造族を構成した。

ABSTRACT

We derived an existence criterion to the Supersymmetric String Theory with Torsion proposed by Strominger and proved the existence of such theory for a class of Calabi-Yau threefolds.

研究の動機と目的

• ねじれを伴う超対称的ストリング理論のストリングラーゲン系に対する、初めての非可約で正則な解を構成すること。
• カルラヤ三重多様体およびそれらに関連するバンドルを摂動することにより、以前の可約解に関する結果を拡張すること。
• 可約バンドル上の複素構造の小さな変形がストリングラーゲン系の解をもたらすための十分条件を同定すること。
• クインティック三重多様体や $\mathbb{P}^3 \times \mathbb{P}^3$ 内の完全交差を含む、明示的なカルラヤ三重多様体の例を提示すること。
• ストリングラーゲン構造のグローバルなモジュライ空間およびそのコンフォイド・トランジションにおける役割を理解する基盤を築くこと。

提案手法

• カルラヤ三重多様体 $X$ 上の可約バンドル $TX \oplus \mathbb{C}_X^{\oplus r}$ の複素構造を、滑らかな $\bar{\partial}$-作用素族 $\bar{\partial}_s$ を用いて摂動する。
• 摂動法を用いて、可約バンドル上のヘルミート・ヤン・ミルズ計量 $H_0$ を、小さな $s$ に対して滑らかなヘルミート・ヤン・ミルズ計量族 $H_s$ に拡張する。
• ストリングラーゲン系を解くための十分条件を導出する：変形のコーディア・スペンサー類が非退化性条件を満たす必要がある（定理4.3）。
• 滑らかなクインティック三重多様体 $X \subset \mathbb{P}^4$ に対して、$\mathbb{C}_X \oplus TX$ 上の複素構造を摂動することにより明示的な例を構成する。
• $\mathbb{P}^3 \times \mathbb{P}^3$ 内に埋め込まれた $X$ に対して、$TX \oplus \mathbb{C}_X^{\oplus 2}$ の小さな変形を、双次数 $(3,0), (0,3), (1,1)$ の多項式による切断によって得る。
• 得られた族に対してコーディア・スペンサー類の非退化性を検証し、ストリングラーゲン系の非可約解の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラヤ真空中の摂動により、非ケーラー多様体上にねじれを伴うストリングラーゲン系の非可約解を構成できるか？
• RQ2 複素構造の変形に必要な条件は何か？ これにより、非自明なドライヴン場およびゲージ場を伴うストリングラーゲン系の解が保証されるか？
• RQ3 クインティックや $\mathbb{P}^3 \times \mathbb{P}^3$ 内の完全交差を含む明示的なカルラヤ三重多様体は、非可約解をもたらす小さな変形を許容するか？
• RQ4 このような変形に対して、コーディア・スペンサー類の非退化性条件をどのように検証できるか？
• RQ5 このような摂動的構成を通じて、ストリングラーゲン構造のモジュライ空間をグローバルに理解できるか？

主な発見

• 本稿は、U(4)およびU(5)バンドルを備えたカルラヤ三重多様体上で、可約構造の摂動を用いて、これまでに知られていた唯一の非可約で正則なストリングラーゲン系の解を構成した。
• 滑らかなクインティック三重多様体 $X \subset \mathbb{P}^4$ に対して、$\mathbb{C}_X \oplus TX$ の滑らかな変形 $D_s''$ が存在し、小さな $s$ および十分大きな $c>0$ に対して、$\lim_{s \to 0} \omega_s = c\omega$ および $\lim_{s \to 0} H_s$ が正則なヘルミート・ヤン・ミルズ接続となるような非可約解 $(H_s, \omega_s)$ が存在する。
• $\mathbb{P}^3 \times \mathbb{P}^3$ 内に埋め込まれた、双次数 $(3,0), (0,3), (1,1)$ の3つの同次多項式によって定義されるカルラヤ三重多様体 $X$ に対しても、同様の構成により $\mathbb{C}_X^{\oplus 2} \oplus TX$ 上に非可約解が得られる。
• 解の存在は、変形のコーディア・スペンサー類が非退化性条件を満たす場合に保証される。具体的には、類行列の非対角成分がすべて非ゼロであること。
• 著者らは、構成された族に対して必要な非退化性条件が成り立つことを確認し、定理4.3の適用可能性を保証した。
• これらの結果は、ストリングラーゲン構造の非摂動的側面およびグローバルなモジュライ空間を理解する基盤を提供し、特にカルラヤ多様体間のコンフォイド・トランジションの文脈において重要である。