[論文レビュー] The existence of the graphs that have exactly two main eigenvalues

Lin Chen, Qiongxiang Huang|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Graph theory and applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、整数対 (a,b) に対する連結グラフが正確に2つの主要固有値を持つための必要十分条件を同定することで、このようなグラフの存在に関する条件を確立している。連結グラフ G ∈ ℒ(a,b) が存在するための必要十分条件は、(a,b) ∈ ℱ* = {(a,b) ≠ (0,1) | a ≥ 0 かつ a² + 4b ≥ 4} であると証明しており、妥当な (a,b) 対に対して ℒ(a,b) に属するグラフの次数の上限・下限および構造的特徴を提示している。

ABSTRACT

An eigenvalue of a graph $G$ is called a main eigenvalue if it has an eigenvector the sum of whose entries is not equal to zero. It is well known that a graph $G$ has exactly two main eigenvalues if and only if there exists a unique pair of integers $a$ and $b$ such that $\sum_{u\in N(v)}d(u)=ad(v)+b$ for every vertex $v\in V(G)$. We collect such connected graph $G$ in the set $\mathscr{G}(a,b)$. In this paper, we mainly focus to the existence of such $a$ and $b$, and give the necessary and sufficient condition for $\mathscr{G}(a,b) eq\emptyset$. In addition, we give the bound for the vertex degrees of $G\in\mathscr{G}(a,b)$ and use the bound to characterize the graphs in $\mathscr{G}(a,b)$ for some feasible pairs $(a,b)$.

研究の動機と目的

• 正確に2つの主要固有値を持つ連結グラフの存在に関する必要十分条件を特定すること。
• このようなグラフにおける頂点次数の上限・下限を確立すること。
• 妥当な整数対 (a,b) に対して ℒ(a,b) に属するグラフの構造を特徴づけること。
• 長年の未解決問題である、どの (a,b) 対がこのようなグラフを支持するかを解明すること。

提案手法

• グラフが正確に2つの主要固有値を持つための条件として、すべての v ∈ V(G) に対して ∑_{u∈N(v)} d(u) = a d(v) + b が成り立つことを用いる。ここで a, b は整数である。
• 集合 ℒ(a,b) を、この式を満たす連結グラフの集合として定義する。
• 等分配分割理論および商グラフを用いて構造的制約を分析する。
• Perron-Frobenius定理と固有値の入れ子の性質を用いて次数の上限・下限を導出する。
• a² + 4b の可能な値のケース解析により、不可能な (a,b) 対を除外する。
• 頂点分割および辺の割り当てルールを用いて、特定の (a,b) 対に対して明示的なグラフ族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの整数対 (a,b) に対して、すべての頂点 v に対して ∑_{u∈N(v)} d(u) = a d(v) + b を満たす正確に2つの主要固有値を持つ連結グラフが少なくとも1つ存在するか？
• RQ2 ℒ(a,b) に属するグラフにおける頂点次数のタイトな上限・下限は何か？
• RQ3 次数の上限・下限が達成された場合、ℒ(a,b) に属するグラフの構造はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 等分配分割および商グラフを用いて、妥当な (a,b) 対に対して ℒ(a,b) に属するすべてのグラフを完全に分類できるか？

主な発見

• 正確に2つの主要固有値を持つ連結グラフが存在するための必要十分条件は、(a,b) ∈ ℱ* = {(a,b) ≠ (0,1) | a ≥ 0 かつ a² + 4b ≥ 4} である。
• 主要固有値は λ₁ = (a + √(a² + 4b))/2 および λ₂ = (a − √(a² + 4b))/2 であり、λ₁ > λ₂ である。
• 任意の G ∈ ℒ(a,b) に対して、δ(G) < (a − √(a² + 4b))/2 < λ₂ < δ(G) < d̄(G) < λ₁ < Δ(G) < (a + √(a² + 4b))/2 が成り立つ。
• 頂点次数の下限が達成されるのは、特定のパrametersを持つ2-等分配分割が存在する場合に限る。これにより明示的な構成が可能となる。
• (a,b) = (1,4) の場合、すべてのこのようなグラフは S₄,₄ であるか、特定の族 ℒ₂(1,4) に属し、ℒ(1,4) = ℒ₁(1,4) が成り立つ。
• (a,b) = (1,5) の場合、ℒ(1,5) = ℒ₁(1,5) ∪ ℒ₂(1,5) であり、ℒ₁(1,5) には S₅,₅ が含まれ、ℒ₂(1,5) には4部グラフの等分配分割を用いて構成されたグラフ族が含まれる。