[論文レビュー] The existence theorem for steady Navier--Stokes equations in the axially symmetric case

Mikhail V. Korobkov, Konstantin Pileckas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多重連結な境界を持つ3次元有界領域における定常ナビエ＝ストークス方程式に対して、弱い軸対称解の存在を、緩められたフラックス条件のもとで確立する。解の存在が保証されるのは、全フラックスがゼロであり、かつすべての境界成分が対称軸と交差する、または小フラックス成分が軸に十分に近い場合に限る。これは、各境界成分に対してゼロフラックスを要する従来の結果を拡張したものである。

ABSTRACT

We study the nonhomogeneous boundary value problem for Navier-Stokes equations of steady motion of a viscous incompressible fluid in a three-dimensional bounded multiply connected domain. We prove that this problem has a solution in some axially symmetric cases, in particular, when all components of the boundary intersect the axis of symmetry.

研究の動機と目的

• 3次元有界領域において、多重連結な境界を持つ定常ナビエ＝ストークス方程式の弱解の存在という、長年の未解決問題に取り組むこと。ただし、非ゼロだが全フラックスがゼロとなる条件を想定する。
• 各境界成分に対してゼロフラックスを要する従来の存在結果を拡張すること。これにより、吸収源や供給源を含む物理的に現実的な配置が許容される。
• 特に、すべての境界成分が対称軸と交差する、または一部の成分に小フラックスがある場合に、軸対称性の仮定のもとで存在定理を確立すること。
• 複雑な幾何構造と非自明な境界条件を有する領域における軸対称な粘性非圧縮流れを解析するための厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• Sobolev空間 $W^{1,2}(Ω)$ における変分法と弱形式を用いて、定常ナビエ＝ストークス系を解析する。
• 領域 $\Omega$ と境界データ $\mathbf{a}$ に対して軸対称性を仮定し、3次元問題を $x_3$-軸まわりの回転に対して不変な系に簡約する。
• 全フラックスがゼロであることを保証する適合条件 $\sum_{j=0}^N \mathcal{F}_j = 0$ を適用する。ここで $\mathcal{F}_j = \int_{\Gamma_j} \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS$ であり、個々のフラックスが非ゼロであっても全フラックスがゼロであれば許容される。
• 非線形対流項 $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ を取り扱うために、重み付きSobolev空間におけるコンパクトネス議論と事前推定を用いる。
• 速度場が対称軸付近でどのように振る舞うかを制御するために、等高線集合と部分集合の連結性を用いた位相的議論を導入する。
• 対称関数空間におけるストークス系の理論とLeray-Schauderの不動点定理を用いて、提示されたフラックス条件のもとでの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重連結な境界を持つ3次元有界領域における定常ナビエ＝ストークス方程式の弱い軸対称解が存在するための境界フラックスに関する条件は何か？
• RQ2 個々の境界成分に非ゼロのフラックスがあるが、全フラックスがゼロである場合には、解の存在を確立できるか？
• RQ3 軸対称性は、各境界成分に対して古典的なゼロフラックス条件を緩和するために果たす役割は何か？
• RQ4 非軸対称境界成分に小フラックスがある場合、ナビエ＝ストークス系の可解性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 すべての境界成分が軸と交差する領域において、個々のフラックスが大きくても解を構成できるか？

主な発見

• 本稿では、軸対称性と全フラックスゼロの下で、少なくとも1つの弱い軸対称解 $\mathbf{u} \in W^{1,2}(\Omega)$ が存在することを証明する。
• すべての境界成分 $\Gamma_j$ が対称軸と交差する場合には、個々のフラックス $\mathcal{F}_j$ が任意に大きくても解が存在する。
• $M$ 個の成分が軸と交差し、残りの $N-M$ 個の成分が $|\mathcal{F}_j|$ が小さな閾値 $\delta = \delta(\nu, \Omega)$ より小さい場合にも解が存在する。ここで $ $ は粘性係数、$ $ は領域の幾何的性質に依存する。
• 軸対称性が成り立つが回転がない場合（$u_\theta = 0$）、解はこの性質を保ち、したがって方位角方向の渦度は存在しない。
• 従来の存在定理（$\mathcal{F}_j = 0$ for all $j \geq 1$）を一般化しており、吸収源や供給源を含む物理的に現実的な配置を許容する。
• 証明は、等高線集合の連結性と対称Sobolev空間におけるコンパクトネスを用いた位相的・関数解析的道具に依存しており、非線形項と境界挙動を制御する。