[論文レビュー] The exit problem from the neighborhood of a global attractor for heavy-tailed Lévy diffusions

Michael A. Högele, Ilya Pavlyukevich|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、小さな乗法的重尾Lévyノイズ下での、グローバルアトラクターの有界近傍からの最初の抜ける問題を研究する。ノイズ強度εにおける抜ける時間の減衰率が代数的であることを確立し、抜ける位置の分布はアトラクター上の不変測度とLévy過程の尾挙動によって決定され、ガウスノイズ下で見られる指数的減衰とは著しく対照的である。

ABSTRACT

We consider a finite dimensional deterministic dynamical system with a global attractor A with a unique ergodic measure P concentrated on it, which is uniformly parametrized by the mean of the trajectories in a bounded set D containing A. We perturbe this dynamical system by a multiplicative heavy tailed Lévy noise of small intensity ε>0 and solve the asymptotic first exit time and location problem from a bounded domain D around the attractor A in the limit of ε to 0. In contrast to the case of Gaussian perturbations, the exit time has the asymptotically algebraic exit rate as a function of ε, just as in the case when A is a stable fixed point. In the small noise limit, we determine the joint law of the first time and the exit location on the complement of D. As an example, we study the first exit problem from a neighbourhood of a stable limit cycle for the Van der Pol oscillator perturbed by multiplicative α-stable Lévy noise.

研究の動機と目的

• 小さな乗法的重尾Lévyノイズ下での、グローバルアトラクター周辺の有界領域からの漸近的最初の抜ける時間と位置を分析すること。
• 従来、安定固定点や勾配系に限定されていた抜ける問題の結果を、エルゴディック不変測度を持つ一般のグローバルアトラクターへと拡張すること。
• ノイズが非ガウス的である、特に正規化されたLévy測度を持つα安定Lévy過程の場合の抜ける行動を特徴づけること。
• 連続的拡散経路ではなく、アトラクターから出発する大きなジャンプが、抜けるダイナミクスを支配することを示すこと。
• ガウスノイズ下の指数的減衰とは対照的に、抜ける時間の減衰率がεに関して代数的であることを確立すること。

提案手法

• 著者たちは、指数−αの正規化されたLévy測度を有する乗法的α安定Lévy過程によって駆動される確率的微分方程式として、摂動系をモデル化する。
• 大きなジャンプと小さな揺らぎの間の時間スケール分離を用い、大きなジャンプの間は系を近似的に決定論的とみなす。
• 主な技術は、強いマルコフ性と連続するアトラクター近傍への帰還時間のカップリングを用いて、最初の抜ける時間の指数的モーメント推定を導出すること。
• 解析は、アトラクター上での決定論的系のエルゴディシティに依存し、一意な不変測度Pを用いてジャンプ分布を重みづける。
• 帰還時間分布とジャンプサイズの条件付き推定を用いて、抜ける時間のラプラス変換の上界と下界を導出する。
• ノイズ強度の正則変動と多項式減衰率を用いて誤差項を制御することで、抜ける時間分布の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな乗法的重尾Lévyノイズ下での、グローバルアトラクター近傍からの最初の抜ける時間は、どのように振る舞うか？
• RQ2 アトラクターが単一の点ではなく、より複雑な不変集合である場合、抜ける位置の漸近的分布は何かによって決定されるか？
• RQ3 ガウスノイズ下の古典的クライマースの法則と比較して、εにおける減衰の次数はどう異なるか？
• RQ4 アトラクター上のエルゴディック測度は、Lévyの場合の抜けるダイナミクスにどの程度影響を与えるか？
• RQ5 アトラクター内部のダイナミクスに依存せずに、抜ける行動を独立に特徴づけられるか、それとも不変測度は不可欠か？

主な発見

• 最初の抜ける時間は、εに関して漸近的に代数的減衰率を示し、具体的にはε^αのオーダーである。これはガウスノイズ下の指数的減衰率∼exp(−c/ε²)とは対照的である。
• 抜ける位置の分布は、アトラクターから出発する大きなLévyジャンプの条件付き分布であり、アトラクター上の不変測度Pによって重みづけられる。
• 抜ける時間のラプラス変換は、不変測度PとLévy過程の尾測度に依存する極限に収束し、モーメント推定を用いて明示的な境界が導出された。
• 抜けるメカニズムは、1回のジャンプでアトラクター近傍から脱出する大きなジャンプに支配され、小さなノイズ極限においてアトラクターへの帰還時間は無視できる。
• Lévy測度が正則変動する限り、イト、ストラトニビッチ、マルクスの異なる確率的積分スキームに対しても結果は安定である。
• 漸近的抜けるレートは、ガウスの場合に見られる最小エネルギー障壁にのみ依存するのではなく、アトラクターのエルゴディック統計に依存する。