[論文レビュー] The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multi-dimensional space

D. K. Durdiev, Elina Shishkina+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラプラス変換およびフーリエ変換を用いて、Gerasimov–Caputoの分数階微分を有するn次元異常拡散方程式に対する明示的な解析的解を導出する。分数階拡散方程式とMittag-Leffler核を有する放物型積分微分方程式との等価性を示すことにより、解はPrabhakarの分数階積分およびFox H関数を用いて表現され、無限領域における初期境界値問題に対して閉形式の表現が得られる。

ABSTRACT

This paper intends on obtaining the explicit solution of $n$-dimensional anomalous diffusion equation in the infinite domain with non-zero initial condition and vanishing condition at infinity. It is shown that this equation can be derived from the parabolic integro-differential equation with memory in which the kernel is $t^{-\\alpha}E_{1-\\alpha, 1-\\alpha}(-t^{1-\\alpha}),\\alpha\\in(0, 1),$ where $E_{\\alpha, \\beta}$ is the Mittag-Liffler function. Based on Laplace and Fourier transforms the properties of the Fox H-function and convolution theorem, explicit solution for anomalous diffusion equation is obtained.

研究の動機と目的

• Gerasimov–Caputoの分数階微分を有するn次元異常拡散方程式に対して、非ゼロの初期条件および無限遠で消える境界条件を満たす明示的解析的解を導出すること。
• 時間分数階拡散方程式とMittag-Leffler関数を含む記憶核を持つ放物型積分微分方程式との等価性を確立すること。
• ラプラス変換およびフーリエ変換を組み合わせ、畳み込み定理を用いて特殊関数を用いた閉形式の解を得ること。
• 解をPrabhakarの分数階積分およびFox H関数を用いて表現することで、複雑な媒体における異常拡散の解析的取り扱いを可能にすること。

提案手法

• 異常拡散における時間の非局所性をモデル化するため、Gerasimov–Caputoの分数階微分の使用。
• 時間に関してラプラス変換、空間に関してフーリエ変換を用いて、問題の分離を図る。
• 畳み込み定理を適用し、分数階微分および記憶核に起因する積分項を扱う。
• ラプラス変換技術を用いて、記憶積分方程式のリゾルベント核を導出する。
• 記憶核を $ t^{-\beta} E_{1-\beta,1-\beta}(-t^{1-\beta}) $ と特定し、$ \beta = \alpha $ とすることでMittag-Leffler関数と関連付ける。
• 逆変換の逆算を通じて、最終解をFox H関数およびPrabhakar積分作用素を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gerasimov–Caputoの分数階微分を有するn次元異常拡散方程式に対して、明示的な解析的解を導出可能か？
• RQ2 異常拡散方程式は、Mittag-Leffler核を有する放物型積分微分方程式とどのように関係しているか？
• RQ3 ラプラス変換およびフーリエ変換は、このような分数階偏微分方程式の閉形式解を導出する上で果たす役割は何か？
• RQ4 Fox H関数およびPrabhakar積分は、解をコンactかつ解析的に取り扱える形で表現するためにどのように利用可能か？

主な発見

• $ f(x,t) = 0 $ の場合、n次元異常拡散方程式の解は、Fox H関数およびPrabhakarの分数階積分作用素を用いて明示的に与えられる。
• 核が $ t^{-\beta} E_{1-\beta,1-\beta}(-t^{1-\beta}) $ である積分微分方程式は、Gerasimov–Caputo微分を有する時間分数階拡散方程式と数学的に等価である。
• リゾルベント核の逆ラプラス変換により $ r(t) = t^{-\beta}/\Gamma(1-\beta) $ が得られ、分数階微積分との一貫性が確認される。
• 解は初期条件 $ u(x,0) = g(x) $ を満たし、空間的に無限遠で消えるという境界条件を満たす。
• 最終解は、Fox H関数を含む級数として表現される：$ G(x,t) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|x|^n} \sum_{j=0}^\infty \frac{(-t^{1-\alpha})^j}{j!} \left[ H_{2,0}^{1,2}(...) + H_{2,0}^{1,2}(...) \right] $。