[論文レビュー] The exponential map of a $C^{1,1}$-metric

Michael Kunzinger, Roland Steinbauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、正則化による滑らか化と比較幾何学を用いて、$C^{1,1}$-正則な擬リーマン計量の指数写像が接空間の原点近傍で双リプシッツホメオモルフィズムであることを確立する。主な結果は、古典的な微分幾何学の結果を低正則性計量へと拡張する、完全正規近傍の存在である。

ABSTRACT

Given a pseudo-Riemannian metric of regularity $C^{1,1}$ on a smooth manifold, we prove that the corresponding exponential map is a bi-Lipschitz homeomorphism locally around any point. We also establish the existence of totally normal neighborhoods in an appropriate sense. The proofs are based on regularization, combined with methods from comparison geometry.

研究の動機と目的

• 滑らかでない $C^{1,1}$-正則な擬リーマン計量への指数写像の古典的結果の拡張。
• 逆関数定理が失敗する $C^{1,1}$ 正則性下でも、指数写像が双リプシッツのままであるかという未解決問題の解消。
• $C^{1,1}$ 設定における完全正規近傍の存在の確立、これは滑らかな場合と類似している。
• Whiteheadの結果を強化し、$C^{1,1}$ 正則性下で指数写像の連続性と全単射性を示す自己完結的証明の提供。

提案手法

• mollifier $\rho_\varepsilon$ を用いた $C^{1,1}$ 計量 $g$ の畳み込みによる正則化により、滑らかな計量 $g_\varepsilon$ の族を生成する。
• 特に Chen と LeFloch の最近の注釈半径に関する結果を用いた、比較幾何学的手法を用い、$g_\varepsilon$ の指数写像に対する一様推定を得る。
• 測地線の歪みおよび $g_\varepsilon$ の注釈半径に関する一様バウンドを導出し、$\varepsilon \to 0$ の極限でも保存されることを示す。
• 正則化族全体にわたる一様な双リプシッツ制御を活用し、極限の指数写像 $\exp_p^g$ が双リプシッツであることを証明する。
• 標準的な完全正規近傍の証明を、一様推定を用いて、すべての接空間において星型性と双リプシッツ制御を保証する形に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆関数定理の失敗にもかかわらず、$C^{1,1}$-計量の指数写像が双リプシッツであることを示せるか？
• RQ2 完全正規近傍（各点の正規近傍である開集合）の存在は、$C^{1,1}$-正則性クラスでも成立するか？
• RQ3 正則化計量の指数写像に対する一様推定を用いて、極限にまで双リプシッツ性を保てるか？
• RQ4 比較幾何学的手法は、低正則性下での測地線および指数写像の振る舞いをどのように制御するか？

主な発見

• $C^{1,1}$-計量に付随する指数写像 $\exp_p^g$ は、$T_pM$ の原点近傍から $M$ 内の像への双リプシッツホメオモルフィズムである。
• すべての $p$ に対して一様に制御される正の半径 $r > 0$ が存在し、$\exp_p^g$ が $B_{h,p}(0,r)$ で双リプシッツである。
• $C^{1,1}$-擬リーマン多様体の各点の周囲に完全正規近傍が存在する。これは、その点のすべての点が正規近傍であるような開集合を意味する。
• 証明は、正則化計量 $g_\varepsilon$ に適用した比較幾何学による一様推定に依拠しており、$\varepsilon \to 0$ の極限でも存続する。
• この結果により、Whiteheadの定理（$C^{1,1}$ 正則性下での指数写像のホメオモルフィズム性）の自己完結的証明が得られる。
• 滑らかさを仮定せず、測地線が一意に定義される最小正則性クラスにおいても、指数写像の双リプシッツ性が確立される。