[論文レビュー] The exponential map of the complexification of {\em Ham} in the real-analytic case

D. Burns, Ernesto Lupercio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、実解析的ケーラー設定下で、ハミルトニアン群 Ham の複素化に対する指数写像を、実構造とラグランジュ被覆を備えた正則シンプレクティック多様体 X を用いて構成する。主な結果は、複素ハミルトニアンの実部のハミルトニアンフローが、純虚数のハミルトニアンを指数化する微分同相写像の族を生成することであり、フローの接空間が実部分多様体に対して横断的であることが、局所的測地線の延長を決定づける。

ABSTRACT

Let $(M, ω, J)$ be a Kähler manifold and K its group of hamiltonian symplectomorphisms. The complexification of K introduced by Donadson is not a group, only a "formal Lie group". However it still makes sense to talk about the exponential map in the complexification. In this note we show how to construct geometrically the exponential map (for small time), in case the initial data are real-analytic. The construction is motivated by, but does not use, semiclassical analysis.

研究の動機と目的

• 実解析的場合におけるハミルトニアン群 Ham の複素化に対する幾何的指数写像の構成。
• 無限次元ケーラー幾何において、特に純虚数のハミルトニアンに対して、ハミルトニアンフローの概念を複素数値ハミルトニアンへと拡張すること。
• ケーラー潜在関数空間内の測地線が、複素化された力学系を用いてどのように延長可能であるかの条件を同定すること。
• ドナルドソンの形式的複素化を、正則シンプレクティック幾何を用いて幾何的に実現すること。

提案手法

• 反正則自己同型 τ を持つ正則シンプレクティック多様体 (X, I, Ω) と、正則ラグランジュ被覆 Π: X → M を用いる。
• M 上の複素数値ハミルトニアン h の正則拡張 H に対して、X 上での Re(H) のハミルトニアンフロー Φₜ を構成する。
• 各点におけるフローの葉の複素化接空間 Tₓ¹⁰ℱₜ と、M の実接空間 TₓM 間の横断的性質を分析する。
• 局所的ダーブル座標を用いて、線形化されたフロー dΦₜ,* を H のヘッシアンを含む行列指数関数として計算する。
• Tₓ¹⁰ℱₜ ∩ TₓM = {0} の条件を用いて、フローが横断的であり、したがって有効な指数写像を定義する場合を同定する。
• 臨界点におけるヘッシアンのスペクトル解析を用いて、延長障害をランクと符号型に従って分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純虚数のハミルトニアンのハミルトニアンフローが、Ham の複素化内で一意に定義された1パラメータ族の微分同相写像を生成する条件は何か？
• RQ2 複素化に真の群構造がない状況下で、指数写像をどのように幾何的に実現できるか？
• RQ3 ハミルトニアンの実解析的性質が、正則拡張とフローの存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 ケーラー潜在関数空間内の測地線が、いつ延長不能となり、その障害は何かを決定づけるか？
• RQ5 複素ハミルトニアンのヘッシアンのランクと符号型が、フローと実部分多様体との横断的性質にどのように影響するか？

主な発見

• フローが実部分多様体 M に対して横断的である限り、正則シンプレクティック多様体 X 上での Re(H) のハミルトニアンフローを用いて、Ham の複素化に対する指数写像を幾何的に構成可能である。
• 臨界点における H のヘッシアンがフルランク（ランク 2n）のとき、すべての t ∈ ℂ に対して Tₓ¹⁰ℱₜ ∩ TₓM = {0} が成り立ち、局所的延長が保証される。
• ヘッシアンのランクが臨界点で 1 のとき、横断的性質は有限の実時間 t = 1/λ₁ で失敗し、測地線の継続が妨げられる。
• 次元 2 の場合、ヘッシアンが1つのゼロ固有値を持つときにのみ障害が発生し、横断的条件における行列式が消える。
• 非退化ヘッシアン（ランク 2）のとき、フローはすべての複素時間に対して横断的であり、指数写像は局所的に正しく定義される。
• M = ℂⁿ、M = ℙ¹、および共軛軌道などの特定のケースにこの構成が適用可能であり、ヘッシアンの役割が障害を決定づける例が明示的に示されている。