[論文レビュー] The exponentiated Hencky energy: Anisotropic extension and biomechanical applications.

Jörg Schröder, Markus von Hoegen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Elasticity and Material Modeling被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、微分幾何学および構造テンソルから導かれる対数ひずみ不変量を用いて、等方的指数型ヘンキーエネルギーの異方的拡張を提案する。回転群からgeodesic距離アプローチを異方性材料対称性へ一般化することで、幾何的に一貫性があり、物理的に妥当な異方的超弾性材料のモデルを構築できる。特に、柔らかい生物学的組織に適用可能である。

ABSTRACT

In this paper we propose an anisotropic extension of the isotropic exponentiated Hencky en- ergy, based on logarithmic strain invariants. Unlike other elastic formulations, the isotropic exponentiated Hencky elastic energy has been derived solely on differential geometric grounds, involving the geodesic distance of the deformation gradient F to the group of rotations. We formally extend this approach towards anisotropy by defining additional anisotropic logarith- mic strain invariants with the help of suitable structural tensors and consider our findings for biomechanical applications.

研究の動機と目的

• 微分幾何学から導かれた等方的指数型ヘンキーエネルギーを、異方的材料へ拡張すること。
• 生物力学における幾何的に一貫性のある異方的超弾性モデルの不足を補うこと。
• 構造テンソルと対数ひずみ不変量を用いて材料の異方性を組み込むこと。
• 複雑な繊維構造を有する柔らかい生物学的組織のモデリングに適した定式化を開発すること。

提案手法

• 変形勾配 F と回転群 SO(3) 間のgeodesic距離を用いて、等方的指数型ヘンキーエネルギーを導出する。
• 異方的材料挙動を捉えるために、追加の対数ひずみ不変量を導入する。
• 好む材料方向を表す構造テンソルを用いて、異方的不変量を構築する。
• 全ひずみエネルギーを、等方的および異方的対数ひずみ不変量の和として定式化する。
• 異方的拡張においても、微分幾何学的基礎を保つことで幾何的整合性を確保する。
• 繊維強化された柔らかい組織を含む生物学的シナリオに、モデルを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等方的指数型ヘンキーエネルギーを、幾何的に一貫性を持つ方法で異方的弾性をモデル化するためにどのように拡張できるか？
• RQ2 等方的モデルの微分幾何学的起源を保ちつつ、異方性を捉える適切な対数ひずみ不変量は何か？
• RQ3 構造テンソルは、対数ひずみ空間における異方的ひずみ不変量の定式化にどのように影響するか？
• RQ4 提案されたモデルは、繊維強化された生物学的組織の機械的応答を正確に表現できるか？
• RQ5 変形勾配から回転群へのgeodesic距離が、異方性材料への拡張において果たす役割は何か？

主な発見

• 異方的拡張は、等方的モデルと同一の微分幾何学的原則から形式的に導出されており、定式化の一貫性が保証される。
• 構造テンソルの導入により、ひずみ不変量における好む材料方向の表現が可能になる。
• 得られたエネルギー関数は、大変形をモデル化する上で有利な対数ひずみ構造を維持している。
• 現象的異方的超弾性モデルとは対照的に、幾何学的に動機付けられた代替手法を提供する。
• コラーゲン繊維の配列を有する動脈壁や心筋組織を含む、柔らかい生物学的組織のモデリングに直接適用可能である。