[論文レビュー] The Expressive Power of Modal Dependence Logic

Lauri Hella, Kerkko Luosto+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 13被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、拡張型モーダル依存性論理（EMDL）と直感的論理和を伴うモーダル論理（ML(∨)）の表現力が同等であることを確立し、定義可能なチーム性質を、下向き閉じ性およびある有限kに対するチームk-双対同値性について閉じている性質として特徴づけている。さらに、EMDLからML(∨)への翻訳は、常に論理式サイズに指数的増加を伴うことが示され、分野における未解決問題を解決した。

ABSTRACT

We study the expressive power of various modal logics with team semantics. We show that exactly the properties of teams that are downward closed and closed under team k-bisimulation, for some finite k, are definable in modal logic extended with intuitionistic disjunction. Furthermore, we show that the expressive power of modal logic with intuitionistic disjunction and extended modal dependence logic coincide. Finally we establish that any translation from extended modal dependence logic into modal logic with intuitionistic disjunction increases the size of some formulas exponentially.

研究の動機と目的

• チーム意味論を伴うモーダル論理の表現力を特徴づけること、特にML(∨)およびEMDLに焦点を当てる。
• EMDLがML(∨)よりも表現力が厳密に強いのか、それとも表現力が同等であるのかという未解決問題を解消すること。
• チーム双対同値を、チーム意味論におけるk-双対同値の一般化として導入し、形式化すること。
• 翻訳の複雑さを分析するために、EMDLおよびML(∨)の論理式における意味的不変量（上・下の次元）を確立すること。
• EMDLからML(∨)への翻訳が、最悪ケースで指数的増加を伴うことを証明すること。

提案手法

• チーム双対同値を、チーム意味論へのk-双対同値の標準的拡張として導入し、チームベースの構造保存性の不変性を捉える。
• 意味的不変量としての論理式の上・下の次元を定義し、チーム性質の複雑さを測定する。
• 論理式構造に関する帰納法を用いて、ML(∨)論理式の次元をその含む直感的論理和（∨）の数の関数として上限づける。
• 依存原子 = (p₁,…,pₙ,q) の次元が 2^(2ⁿ) であることを証明し、これにより任意の同等なML(∨)論理式に必要な∨記号の数の下界を確立する。
• 次元の境界を活用して、依存原子に同等なEMDL論理式が、ML(∨)において少なくとも 2ⁿ 個の直感的論理和を含む必要があることを示し、指数的増加を示す。
• 両論理が、下向き閉じ性およびチームk-双対同値性について閉じた性質の同一クラスを定義することを示すことにより、EMDLとML(∨)の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張型モーダル依存性論理（EMDL）の表現力は、直感的論理和を伴うモーダル論理（ML(∨)）の表現力よりも厳密に強いのか？
• RQ2 チーム意味論と双対同値に類似した不変量を用いて、ML(∨)の表現力を完全に特徴づけられるか？
• RQ3 EMDL論理式を同等なML(∨)論理式に翻訳する際の最小サイズ増加はどの程度か？
• RQ4 上・下の次元といった意味的不変量は、チーム意味論における論理式の複雑さを正確に測定できるか？
• RQ5 チーム双対同値は、モーダル論理における定義可能なチーム性質を特徴付けるために、k-双対同値の標準的一般化として機能するか？

主な発見

• EMDLとML(∨)の表現力は同等である：両者とも、ある有限kに対して下向き閉じており、チームk-双対同値性について閉じたチーム性質のみを定義する。
• 依存原子 = (p₁,…,pₙ,q) の次元は 2^(2ⁿ) であり、これはn個の命題変数における関数的依存を表現するために必要な最小次元である。
• 依存原子 = (p₁,…,pₙ,q) を表現するML(∨)論理式は、少なくとも 2ⁿ 個の直感的論理和記号を含む必要があり、最悪ケースで指数的増加が生じることを示唆する。
• 任意のML(∨)論理式φの次元は 2^(occ_∨(φ)) で上限づけられる。ここで occ_∨(φ) はφに含まれる∨記号の数を表す。これにより、論理式複雑さのタイトな上限が確立される。
• 下向き閉じ性およびチームk-双対同値性の閉じ性による定義可能な性質の特徴づけは、EMDLおよびML(∨)の完全かつ標準的な意味論を提供する。
• これらの結果は、EMDLが依存性を表現するためのモーダル論理の標準的拡張と見なされ、チームベースの不変性によって表現力が完全に捉えられていることを示唆する。