[論文レビュー] The extent of computation in Malament-Hogarth spacetimes

Philip Welch|ArXiv.org|Sep 10, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、特定の因果的構造を持つ相対性理論的時空における無限時間計算を活用することで、マラメント＝ハガーシュタイン（MH）時空がハイパーアリズム的述語を計算可能であることを示している。これは一階算術を超える計算能力を有することを意味する。また、任意のMH時空の計算能力は、可算順序数によって上限づけられ、Borel階層の複雑さに対する普遍的な限界を示している。

ABSTRACT

We analyse the extent of possible computations following Hogarth in Malament-Hogarth (MH) spacetimes, and Etesi and Németi in the special subclass containing rotating Kerr black holes. Hogarth had shown that any arithmetic statement could be resolved in a suitable MH spacetime. Etesi and Nemeti had shown that some \forall \exists relations on natural numbers which are neither universal nor co-universal, can be decided in Kerr spacetimes, and had asked specifically as to the extent of computational limits there. The purpose of this note is to address this question, and further show that MH spacetimes can compute far beyond the arithmetic: effectively Borel statements (so hyperarithmetic in second order number theory, or the structure of analysis) can likewise be resolved: Theorem A. If H is any hyperarithmetic predicate on integers, then there is an MH spacetime in which any query ? n \in H ? can be computed. In one sense this is best possible, as there is an upper bound to computational ability in any spacetime which is thus a universal constant of the space-time M. Theorem C. Assuming the (modest and standard) requirement that space-time manifolds be paracompact and Hausdorff, for any MH spacetime M there will be a countable ordinal upper bound, w(M), on the complexity of questions in the Borel hierarchy resolvable in it.

研究の動機と目的

• マラメント＝ハガーシュタイン（MH）時空における一階算術を超える計算能力の範囲を特定すること。
• エテシとネーメティの未解決問題である、ケルブラックホール時空（MH時空の部分クラス）における計算限界を解明すること。
• 標準的な多様体仮定の下で、任意のMH時空における解ける述語の複雑さに対する普遍的な上界を確立すること。
• 木構造の順序数ランクを用いて、相対性理論的時空における計算能力の概念を形式化すること。

提案手法

• 無限の固有時間を持つ時空的曲線と有限の固有時間を持つ遠方観測者を特徴づける因果的構造を用いて、MH時空を分析する。
• 超タスク（supertasks）の概念を適用：相対性理論的時間歪曲により、有限時間内に無限の計算手順を完了させる。
• 有限パス木の順序数ランクを持つSAD（特異的加速装置）領域を用いて計算をモデル化する。
• SAD領域にそのランクを持つ木が存在しない最小の順序数として、$ w(\text{$\mathcal{M}$}) $ を定義する。
• 時空多様体のパラコンパクト性およびハウスドルフ性を用いて、互いに素なSAD領域は高々可算個しか存在しないことを証明する。
• 記述的集合論の結果、特に有限パス木のインデックスに関する $ \Pi^1_1 $-完全性を応用して、ハイパーアリズム的計算を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マラメント＝ハガーシュタイン時空において、一階算術を超えて解ける数学的命題の最大クラスは何か？
• RQ2 自然数上のハイパーアリズム的述語は、MH時空で解けるか？
• RQ3 標準的な多様体公理の下で、任意のMH時空における計算複雑さの上界は何か？
• RQ4 ケルブラックホール時空の計算能力は、一般のMH時空と比べてどの程度か？
• RQ5 時空内の無限木の構造は、どの程度の複雑な論理的命題を符号化できるか？

主な発見

• 定理Aは、任意の整数上のハイパーアリズム的述語 $ H $ が、あるMH時空で計算可能であることを確立しており、算術を超えてハイパーアリズム的階層へと拡張されることを示している。
• 定理Bは、エテシとネーメティの時空（ケルブラックホール）で計算可能な関係が、$ \Delta_2 $-関係に限られることを示しており、信号の送信に有限の上限がある場合、これはすべての $ \Delta_2 $-関係の真部分集合である。
• 定理Cは、標準的仮定（パラコンパクトかつハウスドルフ多様体）の下で、すべてのMH時空が、解けるBorel述語の複雑さに対する可算順序数上界 $ w(\mathcal{M}) $ を有することを証明している。
• 位相的議論により、$ w(\mathcal{M}) < \omega_1 $ が確立された。これは、SAD領域を含む互いに素な開領域は高々可算個しか存在せず、有限パス木の順序数ランクが制限されることを意味する。
• 本論文は、任意の集合 $ B \subseteq \mathbb{N} $ がSAD領域にハードウェアで組み込まれた木構造により符号化可能であるが、パス木の有限性が決定不能であるため、これは有効な計算可能性を意味しないことを示している。
• 普遍定数 $ w(\mathcal{M}) $ の存在は、どのMH時空も、算術を超えてBorel階層のすべての命題を解けるわけではないことを示唆している。