[論文レビュー] The failure of the uncountable non-commutative Specker Phenomenon

Saharon Shelah, Lutz Strüngmann|ArXiv.org|Sep 5, 2000

Advanced Topology and Set Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換スペッカー現象—可算な完全自由積から群への準同型は、有限個の座標にのみ依存する—が非可算の場合に成立しないことを示している。非可算な$$\nu$$に対して、$$u$$個の非自明な群の完全自由積から$$\mathbb{Z}$$への$$2^{2^u}$$個の異なる準同型を構成することで、著者たちはこの現象が可算添字集合を超えて拡張されないことを示している。

ABSTRACT

Higman proved in 1952 that every free group is non-commutatively slender, this is to say that if G is a free group and h is a homomorphism from the countable complete free product (X_omega Z) to G, then there exists a finite subset F of omega and a homomorphism h:*_{i in F} Z --> G such that h=h rho_F, where rho_F is the natural map from (X_{i in omega})Z to *_{i in F}Z . Corresponding to the abelian case this phenomenon was called the non-commutative Specker Phenomenon. In this paper we show that Higman's result fails if one passes from countable to uncountable. In particular, we show that for non-trivial groups G_alpha (alpha in lambda) and uncountable cardinal lambda there are 2^{2^lambda} homomorphisms from the complete free product of the G_alpha 's to the ring of integers.

研究の動機と目的

• 可算添字集合に対して成り立つヒグマンの非可換スペッカー現象が、非可算な基数へと拡張されるかどうかを調査すること。
• エダの非可算な設定における非可換スペッカー現象の成立に関する未解決の問いを解消すること。
• 非可算な完全自由積から$$\mathbb{Z}$$への、無限個の座標に依存する明示的な準同型族を構成すること。
• このような積から$$\mathbb{Z}$$への準同型集合の最大の可能な大きさを示すこと。

提案手法

• すべての語の集合を有限部分語に基づく同値関係で割った商として、完全自由積$$\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha$$を定義する。
• 非可算な余有限性$$\lambda$$を持つ既約語を用いて、部分語の同型類における出現回数を数えることで、準同型を定義する。
• $$2^{2^\lambda}$$個の既約語$$M_\alpha$$からなる、$$\alpha \in 2^{2^\lambda}$$で添字づけられた、ほとんど互いに素な族を構成し、それぞれが非可算な余有限性を持つようにする。
• 各語$$X$$に対して、$$\beta \in I_\alpha$$、$$\gamma < \lambda$$について、部分語$$M_{\beta,\gamma}$$の正負の出現回数の差を$$\sim_\lambda$$で割ったものとして、準同型$$\varphi_\alpha$$を定義する。
• 語の短縮と合成における整合性を示すことで、$$\varphi_\alpha$$が適切に定義された群準同型であることを証明する。
• ほとんど互いに素であることと、条件(*)により異なる$$\alpha$$間で部分語パターンに重複がないことから、$$\varphi_\alpha$$が互いに異なることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算な完全自由積に対して成り立つ非可換スペッカー現象が、非可算な添字集合へと拡張されるか。
• RQ2 非可算な$$\lambda$$に対して、$$\lambda$$個の非自明な群の完全自由積から$$\mathbb{Z}$$への非可算個の異なる準同型を構成できるか。
• RQ3 非可算な$$\lambda$$に対して、$$\mathrm{Hom}(\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha, \mathbb{Z})$$の集合の大きさが最大であるか。
• RQ4 完全自由積内の語にどのような構造的条件が成り立つと、準同型が有限部分積を通じて因数分解されなくなるか。

主な発見

• 非可算な添字集合に対して非可換スペッカー現象は成立しない：$$\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha$$から$$\mathbb{Z}$$への準同型で、いかなる有限部分積を通じても因数分解されないものが存在する。
• 任意の非可算基数$$\lambda$$および非自明な群$$G_\alpha$$に対して、完全自由積から$$\mathbb{Z}$$への$$2^{2^\lambda}$$個の異なる準同型が存在し、これは最大の可能な濃度に達している。
• この構成は、非可算な余有限性$$\lambda$$を持つ$$2^{2^\lambda}$$個のほとんど互いに素な既約語の族に依存しており、それぞれが部分語の数え上げによって異なる準同型を定義する。
• 準同型$$\varphi_\alpha$$は、下位の語族が条件(*)を満たすため、重複のない部分語パターンを持つことから、適切に定義されかつ互いに異なる。
• $$\lambda$$の非可算な余有限性が本質的である。可算の場合にはヒグマンの元々の結果により、この失敗は生じない。
• このような準同型の存在は、非可算な完全自由積の構造が、可算な場合と比べてはるかに豊かであることを示している。