[論文レビュー] The fast intersection transform with applications to counting paths

Andreas Björklund, Thore Husfeldt+2 more|ArXiv.org|Sep 15, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、入力および出力関数のサポートの下閉包に比例した時間で、部分集合ラティス上の線形変換を計算する高速インターセクション変換を導入する。この手法により、有向グラフにおける与えられた長さおよび重みのパスの個数を、$ O^*(\exp(n \cdot H(\ell/(2n)))) $ 時間で数え上げることができ、長距離パスの文脈で古典的な $ O^*(2^n) $ の壁を破る。ハミルトニアンパスやTSPのカウント問題への応用が可能である。

ABSTRACT

We present an algorithm for evaluating a linear ``intersection transform'' of a function defined on the lattice of subsets of an $n$-element set. In particular, the algorithm constructs an arithmetic circuit for evaluating the transform in ``down-closure time'' relative to the support of the function and the evaluation domain. As an application, we develop an algorithm that, given as input a digraph with $n$ vertices and bounded integer weights at the edges, counts paths by weight and given length $0\leq\ell\leq n-1$ in time $O^*(\exp(n\cdot H(\ell/(2n))))$, where $H(p)=-p\log p-(1-p)\log(1-p)$, and the notation $O^*(\cdot)$ suppresses a factor polynomial in $n$.

研究の動機と目的

• n要素集合の部分集合ラティス上での線形インターセクション変換を効率的に計算するアルゴリズムの開発。
• 長距離パスの文脈で、有向グラフ内のパスの長さと重みを数える時間計算量を、古典的な $ O^*(2^n) $ の境界を下回ること。
• 組合せ最適化におけるサブセットクエリ問題や正確アルゴリズムのための新しいツールの提供。
• 長距離パスに注目した場合、$ O^*(2^n) $ より速くパスのカウントが可能であることを示し、エントロピーに基づく時間境界を活用すること。

提案手法

• アルゴリズムは、すべての $ Y \in \mathcal{G} $ および $ j \in \{0,\dots,n\} $ に対して $ f\iota_j(Y) = \sum_{X \subseteq U, |X \cap Y| = j} f(X) $ を計算する算術回路を構築する。
• 入力関数サポートの下閉包 $ \downarrow\mathcal{F} $ と出力ドメインの下閉包 $ \downarrow\mathcal{G} $ を用いて、関連する部分集合への計算を制限する。
• コア技術は、スパースな入力に適応したYatesのアルゴリズムの応用であり、時間計算量を $ O^*(|\downarrow\mathcal{F}| + |\downarrow\mathcal{G}|) $ に達成する。
• パスカウントの文脈では、パスを中央で分割し、部分パスの生成多項式を計算し、共通頂点がちょうど1つの部分集合の組み合わせをインターセクション変換を用いて数える。
• エッジの重みを変数に符号化した生成多項式を用い、サイズ $ \lfloor \ell/2 \rfloor + 1 $ および $ \lceil \ell/2 \rceil + 1 $ の部分集合の和を評価する。
• 最終的なパス数は、中間頂点 $ a $ に関する和として計算され、$ |S \cap T| = 1 $ を満たす部分パスのカウントをインターセクション変換で統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフ内のパスを数える際、長距離パスの文脈で古典的な $ O^*(2^n) $ の境界を破ることは可能か？
• RQ2 入力および出力サポートのスパarsityを活用する部分集合ラティス上の線形変換を効率的に計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 インターセクション変換を用いて、$ \ell \ll n $ の場合に $ n $ の指数関数的でない時間で、与えられた長さおよび重みのパスを数え上げることは可能か？
• RQ4 $ H(\ell/(2n)) $ のようなエントロピー関数は、スパースな状況におけるパスカウントの複雑さをタイトに特徴づけることができるか？

主な発見

• 高速インターセクション変換は、入力および出力関数のサポート $ \mathcal{F} $ および $ \mathcal{G} $ に対して、時間 $ O^*(|\downarrow\mathcal{F}| + |\downarrow\mathcal{G}|) $ でインターセクション変換を計算する。
• 重み付き有向グラフにおける始点 $ s $ から終点 $ t $ への長さ $ \ell $ のパスの個数を数える場合、アルゴリズムの実行時間は $ O^*(\exp(n \cdot H(\ell/(2n)))) $ である。ここで $ H $ は二進エントロピー関数である。
• $ \ell = 0.5n $ の場合、実行時間は $ O(1.7548^n) $ となり、古典的な $ O^*(2^n) $ の境界を著しく下回る。
• $ \ell = 0.9999n $ の場合、実行時間は $ O(1.999999999^n) $ となり、$ O^*(2^n) $ に近づくが、それを超えない。
• このアルゴリズムは、同じ時間計算量で与えられた長さのサイクルの個数を数えることも可能であり、自己還元性により、同様の時間複雑度でそのようなパスを列挙することも可能である。
• この手法により、$ \epsilon > 0 $ が $ n $ に依存しない場合、長さ $ \ell \gg n/2 $ のすべてのパスを $ O((2 - \epsilon)^n) $ 時間で構築することは、現在の技術では不可能であることが示され、TSPにおける飛躍的進歩を意味する。