[論文レビュー] The Fatou property of block spaces

Yoshihiro Sawano, Hitoshi Tanaka|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用数 68

ひとこと要約

本稿は、ブロック空間のファトウ性質を確立し、$1 < q \leq p < \infty$ に対して、ブロック空間 ${\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)$ がモリーサー空間 ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ の予対偶であることを証明する。著者らは、コンパクトに台を持つ関数を $(p',q')$-ブロックに構成的分解することでファトウ性質を検証し、係数の和に一様なバウンドを得ることで、双対性を確認し、予対偶の完全な特徴づけを達成する。

ABSTRACT

Around thirty years ago, block spaces, which are the predual of Morrey spaces, had been considered. However, it seems that there is no proof that block spaces satisfy the Fatou property. In this paper the Fatou property for block spaces is verified and the predual of block spaces is characterized.

研究の動機と目的

• ブロック空間のファトウ性質を検証すること。これは、モリーサー空間の予対偶としての役割にもかかわらず、これまで厳密に確立されていなかった。
• ブロック空間の予対偶を特徴づけること。具体的には、$1 < q \leq p < \infty$ に対して、${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ と一致することを証明すること。
• モリーサー空間理論における双対ギャップを解消すること。ブロック空間がファトウ性質を満たすことを示し、双対ペアリングにおける弱*収束が予対偶でのノルム収束を保証すること。

提案手法

• 著者らは、立方体 $Q$ 上に台を持つ関数 $b$ で、$\|b\|_{L^{q'}(Q)} \leq |Q|^{1/p - 1/q}$ を満たすものとして、$(p',q')$-ブロックを定義し、これによりブロック空間 ${\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)$ を構成する。
• 非負でコンパクトに台を持つ関数 $f \in L^{q'}({\mathbb{R}}^n)$ を、非負の $(p',q')$-ブロック $B_j$ と係数 $\Lambda_j$ の無限級数 $f = \sum_{j=1}^\infty \Lambda_j B_j$ に構成的に分解する。
• 十分大きな $N$ で級数を切り詰めることで、有限分解 $f = \sum_{j=1}^N \lambda_j b_j$ を定義し、$\sum_{j=1}^N \lambda_j \leq 2\|f\|_{{\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)}$ が成り立つようにする。これにより、係数の和に対する一様な制御が得られる。
• 主要な技術的ステップは、級数の尾の $L^{q'}$-ノルムを推定し、単調収束定理を用いて残差の和をバウンドすることである。
• Hahn-Banachの定理を用いて、モリーサー空間の部分空間上の汎関数を拡張し、すべての有界線形汎関数が $L^{p'}$ 関数から生じるわけではないことを示す。これにより、$L^{p'}$ とモリーサー空間の非双対性が証明される。
• 具体的な例として、$E = \bigcup_{k=1}^\infty (k-1+k^{p/(p-q)}, k+k^{p/(p-q)})$ を用い、$\chi_E \in {\mathcal{M}}^p_q$ だが $\chi_E \notin \widetilde{{\mathcal{M}}}^p_q$ であることを示し、モリーサー空間とブロック空間の違いを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック空間 ${\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)$ はファトウ性質を満たすか？ すなわち、双対空間における弱*収束が予対偶でのノルム収束を保証するか？
• RQ2 $1 < q \leq p < \infty$ に対して、ブロック空間 ${\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)$ はモリーサー空間 ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ の実際の予対偶であるか？
• RQ3 任意のコンパクトに台を持つ関数 $f \in L^{q'}({\mathbb{R}}^n)$ は、係数の和が一様に有界な $(p',q')$-ブロックの有限和に分解可能か？
• RQ4 モリーサー空間 ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ とその潜在的予対偶との正確な関係は何か？特に、$L^{p'}({\mathbb{R}}^n)$ が ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ 上のすべての有界線形汎関数を表さないという事実を踏まえて。
• RQ5 ブロック空間とモリーサー空間の双対性は、標準的な $L^p$-$L^{p'}$ 双対性とどのように異なるか？特に、汎関数の表現および収束性の性質において。

主な発見

• ブロック空間 ${\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)$ はファトウ性質を満たす。すなわち、${\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)$ 内の列 $\{f_k\}$ が ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ の双対空間において弱*収束するならば、$\|f\|_{{\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)} \leq \liminf_{k \to \infty} \|f_k\|_{{\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)}$ が成り立つ。
• モリーサー空間 ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ の予対偶は正確にブロック空間 ${\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)$ である。これは、モリーサー空間理論における長年の未解決問題を解決する。
• 非負でコンパクトに台を持つ任意の関数 $f \in L^{q'}({\mathbb{R}}^n)$ に対して、$(p',q')$-ブロック $b_j$ と係数 $\lambda_j$ を用いて有限分解 $f = \sum_{j=1}^N \lambda_j b_j$ が存在し、$\sum_{j=1}^N \lambda_j \leq 8\|f\|_{{\mathcal{B}}^{p'}_{q'}({\mathbb{R}}^n)}$ を満たす。定数 8 は有効である。
• 例 $E = \bigcup_{k=1}^\infty (k-1+k^{p/(p-q)}, k+k^{p/(p-q)})$ により、$\chi_E \in {\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}})$ だが $\chi_E \notin \widetilde{{\mathcal{M}}}^p_q({\mathbb{R}})$ であることが示され、モリーサー空間が $\widetilde{{\mathcal{M}}}^p_q$-ノルムが有限である関数の空間よりも厳密に大きいことが証明される。
• ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}})$ 上に、$L^{p'}({\mathbb{R}}^n)$ 関数から生じない有界線形汎関数が存在する。具体的には、すべてのコンパクトに台を持つ関数上で消えるが、$\chi_E$ に対して非ゼロとなる汎関数の例を提示することで、$L^{p'}({\mathbb{R}}^n)$ は ${\mathcal{M}}^p_q({\mathbb{R}}^n)$ の予対偶ではないことが示される。