[論文レビュー] The Feedback Capacity of the (1, ∞)-RLL Input-Constrained Erasure Channel.

Oron Sabag, Haim H. Permuter+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2015

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ひとこと要約

本稿は、(1,∞)-RLL制約付き消去チャンネルのフィードバック容量を導出し、$ C_{\rho} = \frac{H_b(p)}{p + \frac{1}{1-\rho}} $ に等しいことを示している。$ 0 \leq p \leq \frac{1}{2} $ の範囲で最大化された平均報酬を動的計画法（DP）を用いて得ることで、容量を達成するゼロエラー符号化方式が得られる。DPの定式化により、容量の計算と明示的な符号の構築が両立可能である。

ABSTRACT

The input-constrained erasure channel with feedback is considered, where the binary input sequence contains no consecutive ones, i.e., it satisfies the $(1,\infty)$-RLL constraint. We derive the capacity for this setting, which can be expressed as $C_{\epsilon}=\max_{0 \leq p \leq \frac{1}{2}}\frac{H_{b}(p)}{p+\frac{1}{1-\epsilon}}$, where $\epsilon$ is the erasure probability and $ H_{b}(\cdot)$ is the binary entropy function. Moreover, we prove that a-priori knowledge of the erasure at the encoder does not increase the feedback capacity. The feedback capacity was calculated using an equivalent dynamic programming (DP) formulation with an optimal average-reward that is equal to the capacity. Furthermore, we obtained an optimal encoding procedure from the solution of the DP, leading to a capacity-achieving, zero-error coding scheme for our setting. DP is thus shown to be a tool not only for solving optimization problems such as capacity calculation, but also for constructing optimal coding schemes. The derived capacity expression also serves as the only non-trivial upper bound known on the capacity of the input-constrained erasure channel without feedback, a problem that is still open.

研究の動機と目的

• 二値入力と(1,∞)-RLL制約を課した消去チャンネルにおけるフィードバック容量を特定すること。
• 符号化器が消去を事前に知っている場合、フィードバック容量が向上するかを調査すること。
• 導出された容量に到達する明示的でゼロエラーの符号化方式を開発すること。
• フィードバックなしの入力制約付き消去チャンネルの容量に対する最初の非自明な上界を確立すること。

提案手法

• 最適平均報酬がフィードバック容量に等しい動的計画法（DP）問題として、チャンネル容量問題を定式化する。
• DPフレームワークを用いて、$ C_{\rho} = \frac{H_b(p)}{p + \frac{1}{1-\rho}} $ という容量式を導出する。ここで $ H_b(p) $ は二値エントロピー関数を表す。
• 符号化器が消去を事前に知っているとしても、フィードバック容量は向上しないことを確立する。
• DPの解から最適な符号化手順を抽出し、ゼロエラーで容量を達成する符号化方式を構築する。
• DPの解を応用して、入力制約付き消去チャンネルの非フィードバック容量に対する最初に知られている非自明な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二値入力と消去確率 $ \rho $ を持つ(1,∞)-RLL制約付き消去チャンネルのフィードバック容量は何か？
• RQ2 符号化器が消去を事前に知っている場合、このチャンネルのフィードバック容量は向上するか？
• RQ3 (1,∞)-RLL制約下で、フィードバック容量に到達するゼロエラー符号化方式を明示的に構築できるか？
• RQ4 入力制約付き消去チャンネルの容量に対する、フィードバックなしで得られる最高の既知の上界は何か？

主な発見

• フィードバック容量は $ C_{\rho} = \frac{H_b(p)}{p + \frac{1}{1-\rho}} $ で与えられ、$ 0 \leq p \leq \frac{1}{2} $ の範囲で最大化され、$ H_b(p) $ は二値エントロピー関数を表す。
• 符号化器が消去を事前に知っているとしても、フィードバック容量は向上しない。これは、フィードバックのみで十分に容量を達成できるということを示唆する。
• 動的計画法の解から、ゼロエラーで容量を達成する符号化方式を明示的に構築した。
• 導出された容量式は、フィードバックなしの入力制約付き消去チャンネルの容量に対する最初に知られた非自明な上界として機能する。
• 動的計画法のフレームワークにより、容量の計算と最適な符号化戦略の構築が一元的かつ統合的に可能となった。