[論文レビュー] The Fermat-type equations x^5 + y^5 = 2z^p or 3z^p solved through Q-curves

Luís Dieulefait, Nuno Freitas|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\rQ$-曲線と一般化されたモジュラー技法を用いて、特定の無限族の素数に対してフェルマー型方程式 $x^5 + y^5 = 2z^p$ と $x^5 + y^5 = 3z^p$ を解いている。$d=2$ の場合、$p > 13$ で $p \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $p \equiv \pm 1 \pmod{5}$ を満たす素数に対して、非自明な原始的解が存在しないことを、ガロア表現と新形式の消去の高度な道具を用いて証明している。$d=3$ の場合、$p > 73$ で $p \equiv 1 \pmod{4}$ の場合にも同様に非存在を示している。

ABSTRACT

We solve the Diophantine equations $x^5 + y^5 = dz^p$ with $d=2, 3$ for a set of prime numbers of density 1/4, 1/2, respectively. The method consists in relating a possible solution to another Diophantine equation and solving the later by using Q-curves and a generalized modular technique as in work of Ellenberg and Dieulefait-Jimenez along with some new techniques for eliminating newforms.

研究の動機と目的

• 古典的モジュラー手法が失敗する場合に、特定の無限族の素数に対して $x^5 + y^5 = 2z^p$ および $x^5 + y^5 = 3z^p$ のディオファントス方程式を解くこと。
• 標準的な楕円曲線手法では扱えなかった $d=2$ および $d=3$ の場合に対し、$\rQ$-曲線と一般化されたモジュラリティ技法を用いたモジュラー法の拡張を行うこと。
• 一般化されたフェルマー方程式を解く文脈において、$\rQ$-曲線の文脈での新形式の消去に必要な新しい技法を開発・適用すること。
• ガロア表現と類体論の道具を用いて、密度 $1/4$（$d=2$）および $1/2$（$d=3$）の素数の集合に対して、非自明な原始的解が存在しないことを確立すること。

提案手法

• 著者たちは、$x^5 + y^5 = dz^p$ の解を、$\phi(a,b) = c^p$ または $\phi(a,b) = 5c^p$ の解に帰着させている。ここで $\phi(a,b) = a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4$ であり、互いに素であることと 5-進付値の性質を活用している。
• 彼らは $\rQ(\omega)$ 上に定義された、$\omega = (-1 + \sqrt{5})/2$ であるような、Frey $\rQ$-曲線 $E$ を構成し、$y^2 = x^3 + 2(a+b)x^2 - \bar{\omega}\phi_1x$ で与えられる。この曲線は、そのガロア共役への 2-同一型を備えており、$\rQ$-曲線構造が確認される。
• 体 $K = \sqrt[1]{\frac{1}{2}(5 + \sqrt{5})}$ 上で、$\gamma = 2\theta^2 - \theta - 5$ により定義される曲線の捩れ $E_\gamma$ が定義され、Weil 追跡が $GL_2$-型のアーベル多様体に分解されることを保証している。
• この方法は、$\rQ$-曲線に付随するガロア表現を用いた一般化されたモジュラー技法に基づいており、エレンバーグの研究から一般化された、実二次体上でのこれらの表現の全射性に依存している。
• クラス体論と $\rQ(\sqrt{5}, \sqrt{-2})$ 上のコycle計算を用いて埋め込み問題を解き、導出されたスプライン文字の導手 20 を用いて、捩れパラメータ $\gamma$ の明示的構成がなされている。
• 新形式の消去技法を一般化し、解に対応する可能性のあるモジュラー形式を除外するために、局所的および大域的なガロア情報を利用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの無限族の素数 $p$ に対して、方程式 $x^5 + y^5 = 2z^p$ は非自明な原始的解を持たないか？
• RQ2 標準的モジュラー法が失敗する $d=2,3$ の場合に、$\rQ$-曲線を用いたモジュラー法を $x^5 + y^5 = dz^p$ に拡張できるか？
• RQ3 一般化フェルマー方程式を解く文脈において、$\rQ$-曲線の文脈で新形式を消去するために必要な新しい技法は何か？
• RQ4 ガロア表現の全射性を実二次拡大に一般化することで、解を除外するにはどうすればよいか？
• RQ5 方程式 $x^5 + y^5 = 2z^p$ および $x^5 + y^5 = 3z^p$ に対して非自明な解が存在しない素数の正確な密度は何か？

主な発見

• すべての素数 $p > 13$ で $p \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $p \equiv \pm 1 \pmod{5}$ を満たすものに対して、$x^5 + y^5 = 2\gamma z^p$ は非自明な原始的解を持たない。ここで $\gamma$ は $l \not\equiv 1 \pmod{5}$ を満たす素数のみで構成される。
• すべての素数 $p > 73$ で $p \equiv 1 \pmod{4}$ を満たすものに対して、$x^5 + y^5 = 3\gamma z^p$ は同様の $\gamma$ 条件のもとで非自明な原始的解を持たない。
• 著者たちは、$K = \sqrt[1]{\frac{1}{2}(5 + \sqrt{5})}$ 上に定義された $\rQ$-曲線の捩れ $E_\gamma$ を明示的に構成した。ここで $\gamma = 2\theta^2 - \theta - 5$ であり、$K$ 上ですべて定義されており、自明なシュール類を有する。
• この解決は、$\rQ$-曲線のガロア表現を用いた一般化されたモジュラー技法に依拠しており、導手 20 で位数 4 の文字を用いて、実二次体上での全射性が確立されている。
• 論文は、$\rQ$-曲線の文脈での新形式の消去に向けた新しい技法を導入・適用し、明示的なコycle計算と四次体の埋め込み問題の解法を用いている。
• 非自明な解が存在しない素数の密度は、$d=2$ に対して $1/4$、$d=3$ に対して $1/2$ であり、上記の合同条件のもとで成立する。