[論文レビュー] The Fibonacci quasicrystal: case study of hidden dimensions and multifractality

Anuradha Jagannathan|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2020

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 171被引用数 134

ひとこと要約

本稿は、1次元フォビオナチ準結晶を準周期的系の代表的モデルとして、その電子的性質——多次元的「隠れた」格子構造に起因する多分形エネルギースペクトル、トポロジカル不変量、臨界波動関数など——を包括的に理論的に行う。主な貢献は、トレース写像や多分形解析を含む正確かつ近似的な手法の詳細な導出であり、これにより、不純物下でのロバストな臨界性、トポロジカル的エッジ状態、再入型局在化転移が明らかになった。

ABSTRACT

The distinctive electronic properties of quasicrystals stem from their long range structural order, with invariance under rotations and under discrete scale change, but without translational invariance. d-dimensional quasicrystals can be described in terms of lattices of higher dimension $D>d$, and many of their properties can be simply derived from analyses that take into account the extra "hidden" dimensions. In particular, as recent theoretical and experimental studies have shown, quasicrystals can have topological properties inherited from the parent crystals. These properties are discussed here for the simplest of quasicrystals, the 1D Fibonacci chain. The Fibonacci noninteracting tight-binding Hamiltonians are characterized by multifractality of spectrum and states, which is manifested in many of its physical properties, notably in transport. Perturbations due to disorder and re-entrance phenomena are described, along with the crossover to strong Anderson localization. Perturbations due to boundary conditions also give information on the spatial and topological electronic properties, as is shown for the superconducting proximity effect. Related models including phonon and mixed Fibonacci models are discussed, as well as generalizations to other quasiperiodic chains and higher dimensional extensions. Interacting quasiperiodic systems and the case for many body localization are briefly discussed. Some experimental realizations of the 1D quasicrystal and their potential applications are described.

研究の動機と目的

• 長距離秩序を有するが並進不変性を欠く準周期的系を研究するための基礎的モデルとして1次元フォビオナチ鎖を確立すること。
• カットアンドプロジェクションによる高次元母格子からのトポロジカル性質および多分形波動関数の出現を解明すること。
• 近接効果および輸送を文脈として、不純物、境界効果、局在化の相乗的相互作用を分析すること。
• 多分形性が動的および熱力学的性質（異常拡散、エンタングルメント成長など）に与える影響を調査すること。
• 冷たい原子、量子ドット、光格子を用いた実験的実現法を提示し、波動フィルタリングや地震遮断への応用を提案すること。

提案手法

• 1次元フォビオナチ鎖を2次元正方格子に埋め込むためにカットアンドプロジェクション法を用い、その隠れたD=2起源を明らかにした。
• 非対角フォビオナチ模型のエネルギースペクトルおよび波動関数の再帰的関係を正確に解くためにトレース写像法を適用した。
• ギャップラベルリングおよびトポロジカル指数（例：チェーン数）を用いて、スペクトルギャップおよびバルク-エッジ対応を特徴付けた。
• 一般化されたフラクタル次元スペクトルを用いた多分形解析により、臨界波動関数のスケーリングおよび自己同形性を定量化した。
• 摂動的および近似的なレノルミング群技法を用いて、不純物下での強いアンドリュー局在化への遷移を研究した。
• ランダウアとクーブォー・グリーンウッドの両手法を組み合わせ、輸送特性を計算した。E=0における伝送率の正確な結果が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元フォビオナチ鎖において、その1次元的性質にもかかわらず、トポロジカル不変量およびエッジ状態はどのようにして出現するのか？
• RQ2 多様な高次元格子が、スペクトルおよび波動関数の多様形的および臨界定性を決定づける役割を果たすのか？
• RQ3 不純物が再入型局在化を誘発し、フォビオナチ鎖における局在化-脱局在化遷移をどのように変化させるのか？
• RQ4 多様形性の動的結果として、例えば対数周期的振動および異常拡散が生じるのか？
• RQ5 フォビオナチ準結晶は、光格子、音響格子、または超伝導系においてどのように実験的に実現可能であり、応用が可能なのか？

主な発見

• フォビオナチ鎖は、トポロジカル指数によってラベル付けされた自己同形的ギャップを有する多様形エネルギースペクトルを示し、ギャップラベル定理と整合的である。
• E=0において、非対角フォビオナチ模型の波動関数は正確に解け、強力な多様形性を示し、フラクタル次元D0 ≈ 0.878を示す。
• バルクにおけるチェーン数が1であるため、2次元量子ホール効果に類似したトポロジカル的に保護されたエッジ状態を支持する。
• 不純物により再入型挙動が誘発され、臨界状態は臨界不純度強度に達するまで存続し、その後強力なアンドリュー局在化に遷移する。
• E=0における輸送は量子化されており、正確にT=1であるため、境界効果に対して臨界状態のロバスト性が示された。
• 自己相関関数および拡散指数に、多様形動的およびスケール不変性の特徴である対数周期的振動が観測された。