[論文レビュー] The Fibonacci sequence modulo $p^2$ -- An investigation by computer for $p < 10^{14}$

Andreas-Stephan Elsenhans, Jörg Jahnel|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$p < 10^{14}$ である素数 $p$ に対して、$p^2$ を法とするフィボナッチ数列の周期長を、広範な計算的手法を用いて調査している。すべてのこのような素数に対して $κ(p^2) \neq \u03ba(p)$ であることを証明し、標準的な公式 $κ(p^n) = \u03ba(p) \cdot p^{n-1}$ が $p < 10^{14}$ の範囲で普遍的に成り立つことを確認した。これは、フィボナッチ数列のモジュラー算術における長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

We show that for primes $p < 10^{14}$ the period length $\kappa (p^2)$ of the Fibonacci sequence modulo $p^2$ is never equal to its period length modulo $p$. The investigation involves an extensive search by computer. As an application, we establish the general formula $\kappa (p^n) = \kappa (p) \cdot p^{n-1}$ for all primes less than $10^{14}$.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、すべての素数 $p$ および $n \geq 1$ に対して $\u03ba(p^n) = \u03ba(p) \cdot p^{n-1}$ が成り立つかどうかという未解決問題を解明することである。
• 標準的な公式が破綻するおそれがある、すなわち $p^2$ を法とした周期長が $p$ を法とした周期長と等しくなる素数 $p$ が存在するか否かを調査する。
• 研究の焦点は、特に $p^2$ における $F_{\u03ba(p)}$ の $p$-進付値を評価することを通じて、素数のべきを法とするフィボナッチ数列の振る舞いを検証することにある。
• 広範な素数の範囲において、Wall数 $\u03ba(p^n)$ の一般公式の計算的証拠と理論的裏付けを提供することである。

提案手法

• 著者らは、$p < 10^{14}$ であるすべての素数 $p$ について、最適化されたモジュラー・フィボナッチ算術アルゴリズムを用いて $\u03ba(p)$ と $\u03ba(p^2)$ を計算するコンピュータ探索を実施した。
• 大規模計算におけるモジュラー算術演算の高速化のため、モンゴメリー表現を採用した。
• 主な理論的道具は、基本補題 2.2.4 であり、$\u03ba(p) \mid l$ かつ $p^e \mid F_l$ ならば $\u03ba(p^e) \mid l$ が成り立つという内容であり、周期長の効率的テストを可能にする。
• アルゴリズムは、$F_{\u03ba(p)} \equiv 0 \pmod{p^2}$ かどうかをチェックすることで、$p$ が例外的（すなわち $κ(p^2) \ne \u03ba(p)$）であるかを特定する。
• 合成数候補を除外するためのエラトステネスのふるいを用い、$p \mid F_{p-1}$ を満たすかで素数性を確認するフィボナッチ合成数テストを実施した。
• 分布のパターンを評価し、異常値を検出するために、$R(p) = F_{p-1} \mod p^2 / p$（または $F_{2p+2} \mod p^2 / p$）の商の統計的分析を実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $p < 10^{14}$ に対して $\u03ba(p^2) = \u03ba(p)$ が成り立つか？
• RQ2 公式 $\u03ba(p^n) = \u03ba(p) \cdot p^{n-1}$ はすべての $p < 10^{14}$ の素数に対して成り立つか？
• RQ3 素数 $p \equiv \pm1 \pmod{5}$ に対して、商 $R(p) = (F_{p-1} \mod p^2)/p$ の分布はいかほどか？
• RQ4 素数 $p \equiv \pm1 \pmod{5}$ に対して、商 $Q(p) = (p-1)/\u03ba(p)$ が $Q(p) = 1$ となる頻度はどの程度か？
• RQ5 $p^2 \mid F_{\u03ba(p)}$ を満たす例外的素数 $p$ は存在するか？（これは $κ(p^2) \ne \u03ba(p)$ を意味する）

主な発見

• すべての $p < 10^{14}$ に対して $\u03ba(p^2) \ne \u03ba(p)$ が成り立つため、この範囲内には例外的素数は存在しない。
• すべての $p < 10^{14}$ に対して一般公式 $\u03ba(p^n) = \u03ba(p) \cdot p^{n-1}$ が成り立つことが確認され、広範な範囲でその有効性が裏付けられた。
• $(p \equiv \pm2 \pmod{5}$ かつ $p < 2 \cdot 10^7$ である素数のうち、$Q(p) = 1$ となる頻度は約 78.8% であり、これは $Q(p) = 1$ が一般的である可能性を示唆している。
• 区間 $[0, 10^{12}]$ において、1桁の商 $R'(p)$ を得る素数が30個存在し、理論的期待値の約 26.85 に非常に近い。
• 小規模な商 $R'(p)$ の分布は理論的期待とよく一致しており、10,000未満の商が12,162個、100未満の商が216個存在した。
• 区間 $[8 \cdot 10^{13}, 8.5765 \cdot 10^{13}]$ 内の 10,792 個の素数のすべてが合成数ではなかった。また、フィボナッチテストおよび独立的な検証を通じて、すべての素数性チェックに合格した。