[論文レビュー] The field of values bound on ideal GMRES

Jörg Liesen, Petr Tichý|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、スタークとアイェルマンが提唱した固有値の領域に基づく境界が、もともと最悪ケースGMRESに知られていたが、理想GMRESに対しても成立することを確立している。これにより、Krylov部分空間法の収束見積もりがより厳密化される。主な貢献は、境界 $ (1 - \nu(A)\nu(A^{-1}))^{k/2} $ が理想GMRESに対して普遍的に成り立つことを証明したことである。これは、従来の境界を改善し、非エルミート線形系の実用的収束解析ツールを提供する。

ABSTRACT

A widely known result of Elman, and its improvements due to Starke, Eiermann and Ernst, gives a bound on the worst-case GMRES residual norm using quantities related to the field of values of the given matrix and its inverse. We prove that these bounds also hold for the ideal GMRES approximation, and we derive and discuss some improvements of the bounds.

研究の動機と目的

• スタークとアイェルマンが提唱した固有値の領域に基づく収束境界を、最悪ケースGMRESから理想GMRESへ拡張すること。
• 一般の正則行列に適用可能な、Krylov部分空間法の統一的収束解析フレームワークを提供すること。
• 凸包含領域とファーベル多項式技術を活用して、既存の境界を改善すること。
• 境界 $ (1 - \nu(A)\nu(A^{-1}))^{k/2} $ が、$ A $ の対称部が正定値でなくても理想GMRESに成立することを示すこと。
• 非正規行列に対して、エーランの古典的境界よりも厳密で実用的な収束見積もりを提供すること。

提案手法

• 多項式近似理論を用いて、最悪ケースGMRESに既に成立していた境界 $ (1 - \nu(A)\nu(A^{-1}))^{k/2} $ が理想GMRESに対しても成立することを証明する。
• 包含関係 $ \fancyscript{F}(A) \ni \text{Re}(z) \to r(A)\text{Re}(z) \geq r(A)\cos\beta $ を用い、$ \cos\beta = \nu(A)/r(A) $ と定義することで、固有値の領域を含む円弧セグメントを定義する。
• ファーベル多項式技術とコンformal写像を適用し、境界 $ \min_{p\in\pi_k}\|p(A)\| \leq (2 + \rho_\beta)\rho_\beta^k $ を導出する。ここで $ \rho_\beta = 2\sin(\beta/(4 - 2\beta/\pi)) $ である。
• 円板包含を用いた別解の境界を導出：$ \fancyscript{F}(A) \subseteq D $ ならば $ \min_{p\in\pi_k}\|p(A)\| \leq 2|\delta/c|^k $ が成り立ち、ここで $ c = (\nu(A) + r(A))/2 $、$ \delta = (r(A) - \nu(A))/2 $ である。
• 固有値が 3 で $ 100 \times 100 $ のジョルダンブロックに対して境界を数値的に比較し、正確な固有値の領域幾何から、円板に基づく境界が最もタイトであることを示す。
• 不等式 $ \|p(A)\| \leq 2\max_{z\in D}|p(z)| $ を用いて、行列上の多項式ノルムと包含領域上のノルムの関係を定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最悪ケースGMRESに知られていた固有値の領域境界 $ (1 - \nu(A)\nu(A^{-1}))^{k/2} $ は、理想GMRESに対しても拡張可能か？
• RQ2 円板や円弧セグメントなどの異なる凸包含領域が、理想GMRESの境界のタイトさにどのように影響するか？
• RQ3 収束係数 $ \nu(A)\nu(A^{-1}) $ と $ A $ の固有値的性質（特に非正規行列の場合）との関係は何か？
• RQ4 円板に基づく包含とファーベル多項式を用いて、ベッカーマン＝ゴレインォフ＝ティルティシニコフの結果を上回るよりタイトな境界が得られるか？
• RQ5 固有値の領域幾何が単純（例えばジョルダンブロックなど）な行列に対して、理論的境界は実際の数値的性能とどのように一致するか？

主な発見

• 境界 $ (1 - \nu(A)\nu(A^{-1}))^{k/2} $ は、最悪ケースGMRESに限らず、理想GMレスに対しても成立し、最適Krylov近似への適用範囲が拡張される。
• $ 100 \times 100 $ のジョルダンブロック（固有値 $ \lambda = 3 $）に対して、理想GMRESの残差ノルムは正確に $ \lambda^{-k} = 3^{-k} $ に等しく、基準としての役割を果たす。
• 円板に基づく境界 $ 2|\delta/c|^k $ において、$ c = (\nu(A) + r(A))/2 $、$ \delta = (r(A) - \nu(A))/2 $ とすると、$ |\delta/c| = (1 - \cos\beta)/(1 + \cos\beta) $ となり、これは $ \rho_\beta $ よりも小さいため、一般のファーベル多項式境界よりもタイトである。
• 収束係数 $ (1 - \nu(A)\nu(A^{-1})) $ は $ 1 - \nu(A)^2/\|A\|^2 $ よりも厳密に小さいことが確認され、スタークの境界がエーランの古典的結果を改善していることが裏付けられる。
• 数値的結果から、特に固有値の領域がほぼ円形に近い行列に対して、円板に基づく境界が一般のファーベル多項式境界 $ (2 + \rho_\beta)\rho_\beta^k $ よりも著しくタイトであることが示された。
• 境界 $ \min_{p\in\pi_k}\|p(A)\| \leq 2|\delta/c|^k $ は、新しい証明により導出された。この証明では $ \|p(A)\| \leq 2\max_{z\in D}|p(z)| $ と、円板 $ D $ 上での $ (1 - z/c)^k $ のミニマックス性質を用いている。