[論文レビュー] The field Q(2cos(pi/n)), its Galois group and length ratios in the regular n-gon

Wolfdieter Lang|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

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ひとこと要約

本稿は代数的数体 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$ を調査し、その最小多項式 $C(n,x)$ を導出し、奇数剰余における新しいモジュロ乗法を用いてガロア群を特徴づけ、正 $n$ 角形の対角線と辺の長さ比をチェビシェフ多項式を用いて表現する。主な貢献は、これらの比が体の構造およびガロア群と完全に代数的に関連付けられることであり、そのガロア群は巡回群または巡回群の直積である。

ABSTRACT

The normal field extension Q(rho(n)), with the algebraic number rho(n) = 2 cos(pi/n) for natural n, is related to ratios of the lengths between diagonals and the side of a regular n-gon. This has been considered in a paper by P. Steinbach. These ratios are given by Chebyshev S-polynomials. The product formula for these ratios was found by Steinbach, and is re-derived here from a known formula for the product of Chebyshev S-polynomials. It is shown that it follows also from the S-polynomial recurrence and certain rules following from the trigonometric nature of the argument x = rho(n). The minimal integer polynomial C(n,x) for rho(n) is presented, and its simple zeros are expressed in the power-basis of Q(rho(n)). Also the positive zeros of the Chebyshev polynomial S(k-1,rho(n)) are rewritten in this basis. The number of positive and negative zeros of C(n,x) is determined. The coefficient C(n,0) is computed for special classes of n values. Theorems on C(n,x) in terms of monic integer Chebyshev polynomials of the first kind (called here t-hat) are given. These polynomials can be factorized in terms of the minimal C-polynomials. A conjecture on the discriminant of these polynomials is made. In order to determine the cycle structure of the (Abelian) Galois group a novel modular multiplication, called Modd n is introduced. On the reduced odd residue system Modd n this furnishes a group which is isomorphic to this Galois group.

研究の動機と目的

• すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して、体 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$ 及びその最小多項式 $C(n,x)$ を特徴づける。
• 体 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群を特定し、それが巡回群または巡回群の直積であることを示す。
• 正 $n$ 角形における対角線と辺の長さ比をチェビシェフ多項式 $S(k-1, \rho(n))$ を用いて表現し、これらの比の積公式を導出する。
• $\mathbb{Q}(\rho(n))$ のべき基底および $C(n,x)$ の零点をスケーリングされたチェビシェフ $T$-多項式 $\hat{t}$ を用いて明示的に表現する。
• ガロア群のサイクル構造をモデル化するために、$n$ を法とする既約奇数剰余系上に新しいモジュロ乗法 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ を導入する。

提案手法

• $\rho(n) = 2\cos(\pi/n)$ の最小多項式 $C(n,x)$ を、$N=2n$ に対して既知の最小多項式 $\Psi(2n,x)$ から導出する。
• チェビシェフ多項式 $S(k-1,x)$ の再帰的性質および三角恒等式を用いて、正 $n$ 角形における対角線と辺の長さ比を表現する。
• $S$-多項式の積公式を適用し、スティンバッハの対角線積公式（DPF）を再導出する。
• $C(n,x)$ の零点および $S(k-1,\rho(n))$ の正の零点を、$\mathbb{Q}(\rho(n))$ のべき基底を用いてスケーリングされたチェビシェフ $T$-多項式 $\hat{t}$ を用いて表現する。
• ガロア群のサイクル構造をモデル化するために、$n$ を法とする既約奇数剰余系上に新しいモジュロ乗法 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ を導入する。
• $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\rho(n))/\mathbb{Q})$ と $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ の乗法的群との間に同型写像を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小多項式 $C(n,x)$ の構造は何か？ また、$\Psi(2n,x)$ とどのように関係しているか？
• RQ2 $\mathbb{Q}(\rho(n))$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群は $n$ に依存するか？ また、非巡回群となるのはいつか？
• RQ3 正 $n$ 角形における対角線と辺の長さ比は、チェビシェフ多項式および代数的数論を用いて体系的に表現可能か？
• RQ4 新しいモジュロ乗法 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ はガロア群のサイクル構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 $C(n,x)$ の係数および判別式は、素数のべきや平方因子なしの $n$ などの特別なクラスに対してどのように振る舞うか？

主な発見

• $\rho(n) = 2\cos(\pi/n)$ の最小多項式 $C(n,x)$ は、整数係数の多項式であり、次数は $\delta(n) = \text{A055034}(n)$ に等しく、すべての零点は単純であり、$\mathbb{Q}(\rho(n))$ のべき基底で表現可能である。
• $\mathbb{Q}(\rho(n))$ は $\mathbb{Q}$ の正規拡大であり、$C(n,x)$ はその分解多項式である。
• $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\rho(n))/\mathbb{Q})$ は、$n$ を法とする既約奇数剰余系上で作用する乗法的群 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ と同型である。
• $n$ が 1 から 100 の間で、30 個の値が非巡回ガロア群をもたらし、それらは巡回群の直積である。
• 正 $n$ 角形における対角線と辺の長さ比は $S(k-1, \rho(n))$ で与えられ、$S$-多項式の恒等式を用いて積公式を再導出する。
• $C(n,0)$ は特別な $n$ に対して計算され、$C(n,x)$ の判別式に関する予想が提示される。