[論文レビュー] The Fine Structure of the Kasparov Groups III: Relative Quasidiagonality

Claude Schochet|ArXiv.org|Jul 12, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、UCTを満たす分離的核となる $C^*$-代数 $A$ と $B$ に対して、$KK_1(A,B)$ における準対角的類の正確な位相的特徴付けを確立する。$QD(A,B) \cong Pext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B))_0$ を示し、この文脈において準対角性が位相的不変量であることを証明し、L.G. ブラウンによる、捩れ部分群への写像の核に関する問いを解決する。

ABSTRACT

In this paper we identify QD(A,B), the quasidiagonal classes in KK_1(A,B), in terms of K_*(A) and K_*(B), and we use these results in various applications. Here is our central result. Theorem: Suppose that A is in the category of separable nuclear C^*-algebras which satisfy the UCT and A is quasidiagonal relative to B. Then there is a natural isomorphism QD(A,B) = Pext (K_*(A), K_*(B))_0 . Thus quasidiagonality of KK-classes is indeed a topological invariant. We give several applications. Finally, we establish a converse to a theorem of Davidson, Herrero, and Salinas, giving conditions under which the quasidiagonality of A/K implies the quasidiagonality of the associated representation of A.

研究の動機と目的

• 分離的核となる $C^*$-代数で UCT を満たすクラス $\widetilde{\mathcal{N}}$ に属する $A$ に対して、$KK_1(A,B)$ における準対角的類 $QD(A,B)$ を特定すること。
• 相対的準対角性と自然な写像 $\theta^*: Ext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B)) \to Ext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A)_t, K_*(B))$ の核との関係を明確にすること。
• ダヴィッドソン、ヘラーおよびサリーナスの定理の逆を確立し、$A/\mathcal{K}$ の準対角性がその表現の準対角性を示すための条件を与えること。

提案手法

• UCT を用いて、$KK_1(A,B)$ を $Ext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B))$ と $Hom_{\mathbb{Z}}(K_*(A), K_*(B))$ を含む拡張として分解し、その核を $Ext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B))$ と特定する。
• $QD(A,B)$ を核の部分群として特定し、特に純粋拡張 $Pext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B))_0$ として同定する。
• サリーナスの結果（準対角的類は $KK_1(A,B)$ の位相的閉包としてゼロの閉包に一致する）を適用し、位相的閉包と準対角性を結びつける。
• ポントリャーギン双対性と純粋部分群の性質を用いて、特に可算な捩れ群 $G$ の場合に $Ext_{\mathbb{Z}}^1(G, \mathbb{Z})$ の構造を解析する。
• $K_0(A) = G$ となる捩れ群 $G$ を用いた具体的な例を構成し、$KK_1(A, \mathcal{K}) \cong \mathcal{P}(G)$ であるが、$QD(A, \mathcal{K}) = 0$ であることを示し、拡張が純粋でない限り準対角的表現が得られないことを示す。
• ブラウンとダダラットの準対角性に関する定理と比較し、$E_\tau$ が準対角的であっても表現 $e_\tau$ が準対角的でない場合があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $A \in \widetilde{\mathcal{N}}$ に対して、$KK_1(A,B)$ における準対角的類の正確な位相的特徴付けは何か？
• RQ2 相対的準対角性は、$Ext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B))$ から $Ext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A)_t, K_*(B))$ への写像 $\theta^*$ の核とどのように関係するか？
• RQ3 $A/\mathcal{K}$ の準対角性が、関連する $A$ の表現の準対角性を示すための条件は何か？
• RQ4 $E_\tau$ が準対角的であっても、表現 $e_\tau$ が準対角的であることは可能か？このような場合の違いは何か？
• RQ5 純粋拡張は、$KK$-類の準対角性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 中心的な結果は、$A \in \widetilde{\mathcal{N}}$ に対して自然な同型 $QD(A,B) \cong Pext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B))_0$ が成り立つことであり、これにより準対角性が位相的不変量であることが確立される。
• 本稿は、L.G. ブラウンの問いを解決し、$\theta^*$ の核が正確に $Pext_{\mathbb{Z}}^1(K_*(A), K_*(B))_0$ に一致することを示し、これが準対角的類を特定することを示している。
• $K_0(A)$ が捩れ自由な $A \in \widetilde{\mathcal{N}}$ に対して、表現 $e_\tau$ の準対角性は $\gamma(\tau) = 0$、すなわち自明なインデックスであることと同値である。
• 本稿は、可算な捩れ群 $G$ に対して $KK_1(A, \mathcal{K}) \cong \mathcal{P}(G)$ であるが、$QD(A, \mathcal{K}) = 0$ である例を構成し、非自明な拡張では唯一自明な拡張が準対角的表現を与えることを示している。
• ブラウンとダダラットの結果により $E_\tau$ が準対角的であっても、$e_\tau$ が準対角的でない場合があることを示し、代数的準対角性と表現論的準対角性の違いを強調している。
• 本稿は、$KK_1(A, \mathcal{K})$ の非自明な拡張が、十分多くのコピーを加えることでのみ準対角的になること、つまり「最終的準対角性」と呼ばれる現象を示している。