[論文レビュー] The Finite Duals of Affine Prime Regular Hopf Algebras of GK-Dimension One

Kangqiao Li, Gongxiang Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Gelfand-Kirillov次元1のすべてのアフィン素数正則ホップ代数 $H$ に対して、明示的にその有限双対 $H^\circ$ を計算し、適切なホップ部分代数 $H^\bullet \subseteq H^\circ$ を選ぶことにより、非退化でアフィン的かつネーター的であるホップ双対 $\langle -, - \rangle: H^\bullet \otimes H \to \mathbbm{k}$ を構成する。主な貢献は、このような双対の完全な分類であり、$H^\bullet$ が正則であることは $H$ が無限大ダイヘドラル群代数 $\mathbbm{k}\mathbb{D}_\infty$ である場合に限り成り立つことが示され、他の場合は非正則な $H^\bullet$ を得る。これは、無限次元において正則性と半単純性の双対性が成立しないことを示している。

ABSTRACT

This paper is an attempt to construct a special kind of Hopf pairing $\langle-,- angle:H^\bullet\otimes H ightarrow\Bbbk$. Specifically, $H^\bullet$ and $H$ should be both affine, noetherian and of the same GK-dimension. In addition, some properties of them would be dual to each other. We test the ideas in two steps for all the affine prime regular Hopf algebras $H$ of GK-dimension one: 1) We compute the finite duals $H^\circ$ of them, which are given by generators and relations; 2) the Hopf pairings desired are determined by choosing certain Hopf subalgebras $H^\bullet$ of $H^\circ$, where $\langle-,- angle$ becomes the evaluation.

研究の動機と目的

• GK次元1のアフィン素数正則ホップ代数 $H$ に対して、有限性および対称性の条件を満たす非退化ホップ双対 $H^\bullet \otimes H \to \mathbbm{k}$ を構成すること。
• 各 $H$ の有限双対 $H^\circ$ を生成子と関係式の形で明示的に計算すること。
• 双対が非退化であり、$H^\bullet$ と $H$ がともにアフィン的かつネーター的で、同じGK次元を持つような、最小で一意なホップ部分代数 $H^\bullet \subseteq H^\circ$ を特定すること。
• 正則性の双対性が $H^\bullet$ と $H$ の間で成立するかどうかを調査し、このような双対が存在し、一意である条件を同定すること。

提案手法

• 有限双対 $H^\circ$ を、有限余次元イデアル上で消える関数の族として定義することにより、GK次元1のアフィン素数正則ホップ代数 $H$ に対して明示的に計算する。
• すべての such $H$ が可換的有限次元であることを用い、表現論的および組合せ論的技法を用いて $H^\circ$ を記述する。
• 生成子（例：$\psi_{1,\gamma}, E_1, E_2$）からなる特定の要素によって生成されるホップ部分代数 $H^\bullet$ を $H^\circ$ の中で特定する。関係式は $H$ の構造から導出される。
• Poincaré-Birkhoff-Wittの定理を用いてモジュール構造と射影次元を解析し、$H^\bullet$ の正則性を評価する。
• グローバル次元基準を適用：$H^\bullet$ が正則であれば、$\mathrm{prdim}_{\mathbbm{k}\langle E_1\rangle}(\mathbbm{k}) < \infty$ でなければならないが、これは $\mathbbm{k}\langle E_1\rangle$ が非体である局所代数である場合に成立しない。
• 生成子における評価とTakeuchiの量子群の枠組み（三重組 $(A, U, \langle -, - \rangle)$）を用いて、双対 $\langle -, - \rangle$ の非退化性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン素数正則ホップ代数 $H$ がGK次元1であるとき、$H^\bullet$ がアフィン的かつネーター的で、$H$ と同じGK次元を持つような最小で非退化なホップ双対 $H^\bullet \otimes H \to \mathbbm{k}$ は存在するか？
• RQ2 このような $H$ の有限双対 $H^\circ$ は、生成子と関係式の形で計算可能か？
• RQ3 与えられた条件下で、双対を形成するホップ部分代数 $H^\bullet \subseteq H^\circ$ は一意的か？
• RQ4 正則性の双対性が $H^\bullet$ と $H$ の間で成立するか？すなわち、$H^\bullet$ が正則であれば $H$ も正則であり、逆も成り立つか？
• RQ5 有限次元において正則性と半単純性の双対性が失敗することは、このような双対を用いて無限次元ホップ代数において観察可能か？

主な発見

• 無限大ダイヘドラル群代数 $\mathbbm{k}\mathbb{D}_\infty$ の有限双対は、多項式代数 $\mathbbm{k}[\mathbb{Z}_2][E_2]$ に同型であり、$\mathbb{Z}_2$ は半単純であるため、$\operatorname{gldim}((\mathbbm{k}\mathbb{D}_\infty)^\bullet) = 1 < \infty$ であり、$H^\bullet$ は正則である。
• $n \geq 2$ の $B(n,\omega,\gamma)$ に対して、双対 $B(n,\omega,\gamma)^\bullet$ は正則でない。なぜなら、$\mathbbm{k}\langle E_1\rangle$ が非体の局所代数であるため、$\mathrm{prdim}_{\mathbbm{k}\langle E_1\rangle}(\mathbbm{k}) = \infty$ となるからである。
• 同様に、$T_\infty(n,v,\xi)^\bullet$ は正則でない。なぜなら、$n \geq 2$ のとき $B(n,\omega,\gamma)^\bullet$ と同型な非正則部分代数を含むからである。
• $m \geq 2$ の $D(m,d,\xi)^\bullet$ は正則でない。なぜなら、$B(m,\omega,\gamma)^\bullet$ を直接和成分として含み、$\operatorname{gldim}(B(m,\omega,\gamma)^\bullet) = \infty$ であるからである。
• 構成されたホップ双対 $\langle -, - \rangle: H^\bullet \otimes H \to \mathbbm{k}$ はすべての要件 (HP1)–(HP4) を満たしており、非退化性、有限性、同じGK次元が保証されている。
• 単位元を含む最小のホップ部分代数 $H^\bullet \subseteq H^\circ$ は一意的であり、非退化双対を形成する。これは命題6.4および註6.7により確認されている。