[論文レビュー] The Finite Element Method for the instationary Gross-Pitaevskii equation with angular momentum rotation

Patrick Henning, Axel Målqvist|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、角運動量を伴う定常でないグロス＝ピタエフスキー方程式を解くための質量保存型クランク＝ニコルソン有限要素法を提示する。正則性の仮定の下で、時間における最大ノルムおよび空間における$L^2$ノルムとエネルギーノルムで最適な収束速度を確立し、数値実験によって検証する。

ABSTRACT

We consider the time-dependent Gross-Pitaevskii equation describing the dynamics of rotating Bose-Einstein condensates and its discretization with the finite element method. We analyze a mass conserving Crank-Nicolson-type discretization and prove corresponding a priori error estimates with respect to the maximum norm in time and the $L^2$- and energy-norm in space. The estimates show that we obtain optimal convergence rates under the assumption of additional regularity for the solution to the Gross-Pitaevskii equation. We demonstrate the performance of the method in numerical experiments.

研究の動機と目的

• 時間に依存するグロス＝ピタエフスキー方程式に回転を加えた場合の質量を保存する数値スキームの開発。
• 時間および空間における有限要素離散化の収束特性の分析。
• 時間における最大ノルムおよび空間における$L^2$ノルムとエネルギーノルムでの事前誤差推定の確立。
• 回転する凝縮体の動的挙動に関する数値実験を通じて理論的結果の検証。

提案手法

• 有限要素スキームにおける質量保存を保証するため、クランク＝ニコルソン型の時間離散化が採用される。
• 空間離散化には、適合有限要素を用いたガレルキン有限要素法が用いられる。
• 解の$L^2$ノルムを保存するようにスキームが定式化され、質量保存が保証される。
• 誤差解析は時間における最大ノルムおよび空間における$L^2$ノルムとエネルギーノルムで実施される。
• 正確な解の追加正則性の仮定の下で、理論的収束速度が導出される。
• 数値実験により、手法の性能と理論的収束速度の確認が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転を伴う定常でないグロス＝ピタエフスキー方程式に対して、質量保存型有限要素スキームの収束挙動はいかなるものか？
• RQ2 時間における最大ノルムおよび空間における$L^2$ノルムとエネルギーノルムで最適な収束速度を達成できるか？
• RQ3 解の正則性は、有限要素法の収束特性にどのように影響するか？
• RQ4 本スキームは、回転するボーズ＝アインシュタイン凝縮体のシミュレーションにおいて、どのように性能を発揮するか？
• RQ5 数値結果は理論的誤差推定を確認できるか？

主な発見

• 追加の正則性仮定の下で、時間における最大ノルムおよび空間における$L^2$ノルムとエネルギーノルムで最適な収束速度が達成される。
• クランク＝ニコルソン型時間離散化のおかげで、有限要素法は質量を保存する。
• 誤差推定は事前解析を用いて導出され、解の正則性に関する標準的仮定の下で収束が確立される。
• 数値実験により、提案スキームの理論的収束速度が確認される。
• 本手法は、高い精度で回転するボーズ＝アインシュタイン凝縮体の動的挙動を効果的に捉えることができる。