[論文レビュー] The finite gap method and the analytic description of the exact rogue wave recurrence in the periodic NLS Cauchy problem. 1

P. G. Grinevich, P. M. Santini|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限ギャップ法を用いて、単一の不安定モードを有する周期的NLS初期値問題におけるレガラーワイブの正確な再発を解析的に記述する。解は線形および非線形のモード不安定性段階を決定的に交互に繰り返し、各非線形段階は初期データから初等関数を用いて完全に決定されるアフメドエフ1ブリーダー解によって正確に記述される。

ABSTRACT

The focusing NLS equation is the simplest universal model describing the modulation instability (MI) of quasi monochromatic waves in weakly nonlinear media, considered the main physical mechanism for the appearance of rogue (anomalous) waves (RWs) in Nature. In this paper we study, using the finite gap method, the NLS Cauchy problem for periodic initial perturbations of the unstable background solution of NLS exciting just one of the unstable modes. We distinguish two cases. In the case in which only the corresponding unstable gap is theoretically open, the solution describes an exact deterministic alternate recurrence of linear and nonlinear stages of MI, and the nonlinear RW stages are described by the 1-breather Akhmediev solution, whose parameters, different at each RW appearance, are always given in terms of the initial data through elementary functions. If the number of unstable modes is >1, this uniform in t dynamics is sensibly affected by perturbations due to numerics and/or real experiments, provoking O(1) corrections to the result. In the second case in which more than one unstable gap is open, a detailed investigation of all these gaps is necessary to get a uniform in $t$ dynamics, and this study is postponed to a subsequent paper. It is however possible to obtain the elementary description of the first nonlinear stage of MI, given again by the Akhmediev 1-breather solution, and how perturbations due to numerics and/or real experiments can affect this result.

研究の動機と目的

• 有限ギャップ法を用いて、周期的NLS初期値問題におけるレガラーワイブの正確な再発を解析的に記述すること。
• モード不安定性の線形段階と非線形段階の間の決定的交互の性質を特徴づけること。
• 各レガラーワイブ出現時にアフメドエフ1ブリーダー解のパラメータを明示的かつ初等関数でパrameter化すること。
• 複数の不安定モードが存在する場合の数値的または実験的摂動に対する再発の頑健性を評価すること。
• 複数の不安定モードを有する一般の場合におけるレガラーワイブ再発の統一的記述の基盤を築くこと。

提案手法

• 周期的領域におけるNLS初期値問題を解くために有限ギャップ法を適用し、初期摂動が小さい、滑らかで平均値がゼロの関数を仮定する。
• 解は、初期摂動のフーリエ成分から得られるスペクトルデータを用いた、種数g=2のリーマン面上のテータ関数を用いて構成される。
• リウヴィルトーラス上の位相シフトを追跡することで動的挙動を分析し、再発のための周期性条件を導出する。
• 解が位相乗数の違いを除いて元の状態に戻る瞬間を特定し、再発周期の計算を可能にする。
• 一般の初期データがすべての不安定モードを励起する場合の代替的手法として、一致漸近展開が提案される。
• スペクトルパラメータと初期データを含む有限ギャップ表現から、再発周期$T_p$、空間的シフト$ abla x$、位相増分$ ho$の主要な式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ギャップ法を用いて、周期的NLS初期値問題におけるレガラーワイブの正確な再発を解析的に記述できるか？
• RQ2 各レガラーワイブ発生時のアフメドエフ1ブリーダー解のパラメータは、初期データからどのように決定されるか？
• RQ3 開いている不安定ギャップの数が再発ダイナミクスの安定性および一様性に果たす役割は何か？
• RQ4 複数の不安定モードが存在する場合、数値的または実験的摂動は決定的再発にどのように影響を与えるか？
• RQ5 すべての時間区間において、初等関数を用いて再発ダイナミクスを一様に記述できるか？

主な発見

• 単一の不安定モードの場合、解は線形および非線形のモード不安定性段階を決定的に交互に繰り返す。
• 各非線形段階は、初期データから初等関数を用いて完全に決定されるアフメドエフ1ブリーダー解によって正確に記述される。
• 再発周期$T_p$は、有限ギャップスペクトルデータから導出され、$T_p = \frac{1}{\sigma_n} \log\left[\frac{\sigma_n^4}{4|\alpha_n\beta_n|}\right]$で与えられる。
• 空間的シフト$ abla_x = \frac{\arg(\alpha_n\beta_n)}{k_n}$および位相増分$ ho = 2T_p + 4\phi_n$は初期条件から明示的に計算される。
• 複数の不安定モードが存在する場合、$O(1)$の補正項が摂動によって生じ、一様なダイナミクスが破られるため、より複雑な解析が必要となる。
• テータ関数の周期性により、解の周期性（位相乗数の違いを除く）が確認され、$u(x+\Delta_x, t+T_p) = \exp(i\rho)u(x,t)$が成り立つ。