[論文レビュー] The Finsler Type of Space-time Realization of Deformed Very Special Relativity

Lei Zhang, Xun Xue|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、変形された非常に特別な相対性理論（VSR）理論から生じるフィンスラー型時空幾何学を調査し、半直積のポincare部分群とその変形に焦点を当てている。ほとんどの場合、これらの群はフィンスラー・ミンコフスキー計量を導き、ローレンツ対称性の破れがあっても回転対称性が保たれることを示しており、物理的力学によって制約される唯一の任意関数に依存する、許容可能な幾何学の族を同定している。

ABSTRACT

We investigate here all the possible invariant metric functions under the action of various kinds of semi-direct product Poincaré subgroups and their deformed partners. The investigation exhausts the possible theoretical frameworks for the spacetime realization of Cohen-Glashow's very special relativity and the deformation very special relativity approach by Gibbons-Gomis-Pope. Within Finsler-Minkowski type of spacetime, we find that the spacetime emerge a Finsler type of geometry in most cases both for undermed Poincaré subgroup and for deformed one. We give an explanation that the rotation operation should be kept even in a Lorentz violating theory from geometrical view of point. We also find that the admissible geometry for $DTE3b$, TE(2), ISO(3) and ISO(2,1) actually consists of a family in which the metric function vary with a freedom of arbitrary function of the specified combination of variables. The only principle for choosing the correct geometry from the family can only be the dynamical behavior of physics in the spacetime.

研究の動機と目的

• 半直積のポincare部分群およびその変形されたパートナ群の下での不変計量関数を、変形された非常に特別な相対性理論の文脈ですべて分類すること。
• これらの対称性群から自然にフィンスラー型時空幾何学が生じるかどうかを特定すること。
• 幾何学的観点から、ローレンツ対称性の破れを持つ理論における回転不変性の役割を明確にすること。
• 得られた時空フレームワークにおける物理的力学から生じる計量関数の制約を同定すること。
• 未変形および変形された両ケースを含め、対称性群とそれに対応するフィンスラー計量関数の体系的分類を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、3および4生成子のローレンツ部分群（例：TE(2), DTE3b, ISO(3), ISO(2,1)）を時空移動 T(4) と半直積で組み合わせた群作用を分析している。
• 不変性原理とテンソル解析を用いて、これらの群作用の下での不変計量関数を導出している。
• 研究では、指定された対称性群に対して不変であるように構成される時空計量を、フィンスラー・ミンコフスキー枠組みを用いて構築している。
• DISIM_b(2) のような変形群の場合、線素は $ ds^2 = (\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu)^{1-b} (n_\mu dx^\mu)^{2b} $ の形を取り、これはフィンスラー型でありローレンツ対称性の破れを持つ。
• DTE3b, TE(2), ISO(3), ISO(2,1) に対しては、特定の変数の組み合わせの任意関数によってパrameter化された計量関数の族を構築している。
• 群作用の不変性を要求することで幾何的制約を導出し、可能なフィンスラー構造の分類に至っている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非常に特別な相対性理論における半直積のポincare部分群およびその変形版の下で不変なフィンスラー型計量関数はどれか？
• RQ2 ローレンツ対称性の破れを持つ時空において、回転対称性の保存がどのように現れ、なぜ幾何学的に必然的なのか？
• RQ3 TE(2) や ISO(3) のような特定の対称性群において、任意関数が計量を定義する役割を果たすのはなぜか？
• RQ4 DISIM_b(2) の変形パrameter b がどのようにしてフィンスラー構造を一意に決定するのか？
• RQ5 許容可能な幾何学の族から特定の計量を選ぶために、物理的制約（もし存在するなら）は何か？

主な発見

• ほとんどの半直積のポincare部分群およびその変形パートナは、群の不変性によって決定されるフィンスラー型時空幾何学を導く。
• ローレンツ対称性の破れがあっても、回転操作は変化しない。これは、回転領域におけるスケール変換が不変計量関数の存在によって本質的に排除されるからである。
• DTE3b, TE(2), ISO(3), ISO(2,1) の場合、許容可能なフィンスラー計量は特定の変数の組み合わせの任意関数によってパラメータ化された族を形成しており、大きな幾何的自由度を示している。
• 変形された DISIM_b(2) 群は、変形パrameter b によってそのフィンスラー計量を一意に決定する。線素は $ ds^2 = (\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu)^{1-b} (n_\mu dx^\mu)^{2b} $ である。
• ポincare群は一般の DISIM 計量における特別なケース A=0 に対応し、A=1 は DTE2a1 群に対応する。
• 非常に大きな幾何的自由度があるにもかかわらず、物理的力学（例えば、場の理論における非局所項や、粒子力学における分数階微分）が、実現可能な計量形態に制約を加えている。