[論文レビュー] The first fundamental theorem of invariant theory for the orthosymplectic super group

Deligne, P., R. B. Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、アティヤ＝ボット＝パトディの還元技法の超対応版を用いて、直交シンプレクティック超群（OSp）およびペリプレクティック超群の第一基本定理（FFT）の新しい幾何的証明を提示する。不変量が超形式Bによるペアリングによって生成されることを確立し、セルゲーエフの超パフラリアンが特殊直交シンプレクティック群において、超行列式の平方根としての多項式的性質を説明する。

ABSTRACT

We give a new proof, inspired by an argument of Atiyah, Bott and Patodi, of the first fundamental theorem of invariant theory for the orthosymplectic super group. We treat in a similar way the case of the periplectic super group. Lastly, the same method is used to explain the fact that Sergeev's super Pfaffian, an invariant for the special orthosymplectic super group, is polynomial.

研究の動機と目的

• アティヤ、ボット、パトディの手法にインspiredされた、直交シンプレクティック超群（OSp）の第一基本定理（FFT）の新しい幾何的証明を提供すること。
• 同様の手法をペリプレクティック超群に拡張し、超設定におけるそのFFTを確立すること。
• セルゲーエフの超パフラリアンが特殊直交シンプレクティック超群の不変量として多項式的である理由を説明すること。
• 降下法とスペクトル的技法を用いて、超代数幾何における不変量の統一的取り扱いを図ること。

提案手法

• 超ベクトル空間と次数付きテンソル積を用いて、OSpのFFTをGL(V)のFFTへ還元する、アティヤ＝ボット＝パトディの還元の超対応版を採用する。
• 超ベクトル空間の符号則：$ v \otimes w \mapsto (-1)^{|v||w|} w \otimes v $ を用いて、超対称な双一次形式を定義する。
• 超スキームと忠実に平坦な降下を用いて超群作用をモデル化し、SGA1の結果を応用して、開部分集合を越えて不変量を拡張する。
• 局所座標における二項展開を用いて、$ \det(B(v_i, v_j))^{2n+1} $ の平方根として超パフラリアンを構成し、グラスマン関係による展開の停止を示す。
• エタール降下を適用し、行列式が可逆である開集合の補集合が codimension ≥ 2 であることを解析することで、超パフラリアンが全空間に拡張されることを証明する。
• ベクトル束を直交部分束に分解することで、奇数部を分離し、形式の局所的平方根を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交シンプレクティック超群の第一基本定理は、一般線形超群へ幾何的還元を用いてどのように証明できるか？
• RQ2 ペリプレクティック超群の $ V^N $ 上の不変多重線形形式の構造は何か？また、双一次形式によるペアリングとどのように関係するか？
• RQ3 なぜセルゲーエフの超パフラリアンは特殊直交シンプレクティック超群の下で多項式的不変量となるのか？
• RQ4 超パフラリアンが行列式の平方根であるにもかかわらず、なぜ全体的に拡張可能なのか？

主な発見

• OSpのFFTは、GL(V)のFFTへの還元により証明され、不変量が超形式Bによるペアリングによって生成されることを示した。
• 同様の手法はペリプレクティック超群に対しても適用可能であり、その作用下の不変量についても同様のFFTを得た。
• 超パフラリアン $ \Delta^{2n+1} $ は、$ \det(B(v_i, v_j))^{2n+1} $ の平方根として定義され、グラスマン関係による展開の停止により、二項展開を用いて多項式的であることが示された。
• エタール降下により、超パフラリアンは全空間 $ \mathbf{V}^m $ に拡張可能である。これは、行列式が可逆である開集合の補集合が codimension ≥ 2 であるためである。
• 超パフラリアンは連結成分 $ \mathrm{SOSp}(V) $ に対して不変であり、他の成分の元では符号が反転する。これにより、特殊群の基本不変量としての役割が確認された。
• $ \mathrm{SOSp}(V) $ の対称テンソル上の不変量は、$ \mathrm{OSp}(V) $ の不変量と超パフラリアンによって生成されることが、$ \mathfrak{gl}_N $-加群構造を用いて示された。