[論文レビュー] The first $L^p$-cohomology of some finitely generated groups and $p$-harmonic functions

Michael J. Puls|ArXiv.org|Sep 7, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限生成群の第一 $L^p$-コホモロジーと $p$-調和関数の間の関係を確立し、次数 $d > p \geq 2$ の多項式成長を示す群に対して、非自明なコホモロジー類が $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$ に属する関数によって表現可能であることを示している。さらに、非アメーブル群に対しては、$p' \geq p$ のとき $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$ が成り立つことが証明されており、アメーブル群とは顕著な相違を示している。

ABSTRACT

Let $G$ be a finitely generated infinite group and let $p > 1$. In this paper we make a connection between the first $L^p$-cohomology space of $G$ and $p$-harmonic functions on $G$. We also describe the elements in the first $L^p$-cohomology space of groups with polynomial growth, and we give an inclusion result for nonamenable groups.

研究の動機と目的

• 有限生成群の第一 $L^p$-コホモロジーと $p$-調和関数の間の関係を確立すること。
• 多項式成長を示す群の第一 $L^p$-コホモロジー空間の要素を特徴づけること。
• 非アメーブル群に対して $H^1(G, L^p(G))$ と $H^1(G, L^{p'}(G))$ 間の包含関係を調査すること。
• $p$-調和関数が $L^p$-コホモロジー空間の構造において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 群環 $\mathbb{R}G$ と畳み込みを用いて、右移動による $p$-可積分な差分を持つ関数の空間 $D^p(G)$ を定義する。
• 対称生成集合 $S$ における $s$ に対して $f*(s-1)$ の $L^p$-ノルムに基づく $D^p(G)$ 上のノルムを導入し、定数関数を商として取り除いて $D^p(G)/\mathbb{R}$ を構成する。
• 縮小コホモロジー $\overline{H}^1_{(p)}(G)$ の理論を適用し、$D^p(G)$ を $\overline{\mathbb{R}G}_{D^p(G)}$ と、調和関数の空間 $HD^p(G)$ に分解する。
• 多項式成長群に対して条件 $(IS)_d$ と $S_d$ が同値であることを利用し、コホモロジーと $L^r$-空間における可積分性を関連付ける。
• 多項式成長群に対して $HD^p(G) = \mathbb{R}$ が成り立つことを利用して、非自明なコホモロジー類が $D^p(G)$ 内の非定数関数から生じることを特定する。
• $D^p(G)$ と $L^r(G)$ における近似論を用いて、$\mathbb{R}G$ 内の列の極限が $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$ で収束することを示し、より高い可積分性クラスにおける表現を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-調和関数は、有限生成群の第一 $L^p$-コホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ2 次数 $d$ の多項式成長を示す群に対して、$H^1(G, L^p(G))$ の非ゼロ類を代表する関数はどの $L^r$-空間に属するか？
• RQ3 非アメーブル群に対して、$p' > p$ のとき $H^1(G, L^p(G))$ が $H^1(G, L^{p'}(G))$ に埋め込まれるか？
• RQ4 アメーブル群では、包含関係 $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$ が失敗する可能性があるか？

主な発見

• 有限生成群 $G$ が次数 $d > p \geq 2$ の多項式成長を示すとき、$H^1(G, L^p(G))$ の任意の非自明な類は、$L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$ に属する関数によって表現可能である。これは定理 5.4 で示されている。
• 群が多項式成長を示すとき、$G$ 上の $p$-調和関数の空間 $HD^p(G)$ は $\mathbb{R}$ に等しい。これは、非自明なコホモロジー類が $D^p(G)$ 内の非定数関数から生じることを示している。
• 非アメーブル群に対しては、すべての $p' \geq p$ に対して $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$ が成り立つ。これは命題 6.2 で確立されている。
• アメーブル群では包含関係が失敗する：$D^p(\mathbb{Z})$ に属する関数で、$H^1(\mathbb{Z}, L^p(\mathbb{Z}))$ において非ゼロの類を代表するものがあるが、$p' > p$ のとき $H^1(\mathbb{Z}, L^{p'}(\mathbb{Z}))$ ではゼロ類に属する。これは第 6 章の例で示されている。
• 空間 $D^p(G)/\mathbb{R}$ 上のノルムは、$\|f\|_{D(p)} = \left(\sum_{s \in S} \|f*(s-1)\|_p^p\right)^{1/p}$ と等価であり、対称生成集合 $S$ の選択に依存しない。
• 群 $G$ が次数 $d > p$ の多項式成長を示すとき、$\overline{\mathbb{R}G}_{D^p(G)}$ は $D^p(G)$ の真部分空間である。これは、非自明なコホモロジー類が $L^p$-関数によって表現できないことを示している。