[論文レビュー] The First Law of Black Hole Mechanics

Robert M. Wald|ArXiv.org|May 25, 1993

Relativity and Gravitational Theory被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論のハミルトニアン形式を用いて、ブラックホール力学の第一法則の強化された導出を提示している。これは、定常的かつ軸対称なブラックホールの任意の正則的で漸近的に平坦な摂動について成り立つことを示しており、他の定常解への摂動に限らない。主な結果は、ブラックホール一意性定理におけるギャップを埋め、アインシュタイン＝マックスウェル系のブラックホールがホライズンから離れたエゴレギオンを有することはできないことを証明しており、非回転のそれらのブラックホールはすべて静的なものであると示している。

ABSTRACT

A simple proof of a strengthened form of the first law of black hole mechanics is presented. The proof is based directly upon the Hamiltonian formulation of general relativity, and it shows that the the first law variational formula holds for arbitrary nonsingular, asymptotically flat perturbations of a stationary, axisymmetric black hole, not merely for perturbations to other stationary, axisymmetric black holes. As an application of this strengthened form of the first law, we prove that there cannot exist Einstein-Maxwell black holes whose ergoregion is disjoint from the horizon. This closes a gap in the black hole uniqueness theorems.

研究の動機と目的

• 定常的かつ軸対称なブラックホールの任意の正則的で漸近的に平坦な摂動について適用可能な、ブラックホール力学の第一法則の強化形を導出すること。
• アインシュタイン＝マックスウェル系のブラックホールがホライズンから離れたエゴレギオンを持つことはできないことを証明することで、ブラックホール一意性定理におけるギャップを埋めること。
• 時間並進のキリング場がグローバルに時間的であると仮定しないまま、任意の定常的かつ非回転なアインシュタイン＝マックスウェル系のブラックホールが静的でなければならないことを示すこと。
• ハミルトニアン形式が、ブラックホール解の幾何的および力学的制約を、あらかじめグローバルな対称性を仮定せずに導出するうえで有効であることを示すこと。

提案手法

• アインシュタイン＝マックスウェル理論のADMハミルトニアン形式を用い、純粋な制約形式であり、制約部分多様体上で消えることを利用することで、第一法則を導出する。
• ADMハミルトニアンの変動を用い、線形化された制約を満たす初期データの摂動と、質量、電荷、角運動量の変化を直接関係づける。
• 双極面を通過する最大で、漸近的に平坦かつ直交するスライス上での初期データの特定の摂動を構成し、電荷とホライズン面積を保存する。
• 摂動が線形化された制約を満たし、ホライズン面積を保存するが、外在的曲率が消えない限りADM質量が減少することを確認する。
• 第一法則との矛盾から、外在的曲率が消えなければならないことを結論づけ、これは超曲面直交の時間的キリング場の存在を示唆する。
• 等長性不変性と漸近的挙動を用い、時間並進場がグローバルキリング場であることを示し、非回転ブラックホールの静的性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホール力学の第一法則は、他の定常解への摂動に限らず、定常的かつ軸対称なブラックホールの任意の正則的で漸近的に平坦な摂動についても成立するか？
• RQ2 非回転のアインシュタイン＝マックスウェル系ブラックホールが、ホライズンから離れたエゴレギオンを持つことは可能か？
• RQ3 角運動量がなく、摂動下でもホライズン面積が保存される場合、ブラックホールは静的でなければならないと結論づけられるか？
• RQ4 一般相対性理論のハミルトニアン形式を用いることで、あらかじめグローバルな対称性を仮定せずに、ブラックホール解の幾何的制約を導出できるか？
• RQ5 この証明はアインシュタイン＝ヤン・ミルズ理論に一般化できないのはなぜか？ そして、このことは、その理論において非静的で非回転なブラックホールが存在しうることを示唆するのか？

主な発見

• ブラックホール力学の第一法則は、定常的かつ軸対称なブラックホールの任意の正則的で漸近的に平坦な摂動について、他の定常解への摂動に限らず、強化された形で成り立つ。
• ホライズンから離れたエゴレギオンを持つ非回転のアインシュタイン＝マックスウェル系ブラックホールは、静的でなければならない。これはブラックホール一意性定理におけるギャップを解消する。
• 最大スライス上での初期データの特定の摂動は、電荷とホライズン面積を保存するが、外在的曲率が消えない限りADM質量が減少する。
• 外在的曲率の消滅は、超曲面直交的かつグローバルに時間的であるキリング場の存在を示し、時空が静的であることを証明する。
• この結果は、アインシュタイン＝ヤン・ミルズ理論に一般化されない。非回転で非静的ブラックホールが存在しうるが、不安定であると予想される。
• 証明は、局所的制約と変分原理から、ブラックホール解のグローバルな幾何的性質を導出するうえで、ハミルトニアン形式の強力さを示している。