[論文レビュー] The first non-vanishing quadratic twist of an automorphic L-series

Jeffrey Hoffstein, Alex Kontorovich|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ \mathrm{GL}(r,\mathbb{A}_\mathbb{Q}) $ 上の自動形式 $ L $-関数（$ r=1,2,3 $）の二次的 twist における中心値が消えない最小の基本的判別式 $ d $ の有効な上限を確立する。複数のディリクレ級数と関数等式を用いて、$ \mathrm{GL}(1) $ では $ |d| \ll_\varepsilon N^{1/2+\varepsilon} $、$ \mathrm{GL}(2) $ では $ |d| \ll_\varepsilon N^{1+\varepsilon} $、$ \mathrm{GL}(3) $ では二次的特徴の条件を仮定すると $ |d| \ll_\varepsilon N^{2+\varepsilon} $ が得られる。結果はシーゲル零点の存在しないことの仮定に依存し、逆メリン変換と積分路のシフトに依存している。

ABSTRACT

Let pi be an automorphic representation on GL(r, A_Q) for r=1, 2, or 3. Let d be a fundamental discriminant and chi_d the corresponding quadratic Dirichlet character. We consider the question of the least d, relative to the data (level, weight or eigenvalue) of pi, such that the central value of the twisted L-series is nonzero, i.e. L(1/2, pi x chi_d) != 0. For example, let N be the level of pi. Using multiple Dirichlet series, we prove the nonvanishing of a central twisted $L$-value with d << N^{1/2} for GL(1), d << N^1 for GL(2), and d << N^2 for GL(3), the last case assuming that a certain character is quadratic (see Theorem 1.13). We work over Q for simplicity but the method generalizes to arbitrary number fields. We conjecture that in all cases there should be such a twist with d << N^epsilon. This would follow from a Lindelof-type bound for a multiple Dirichlet series which does not have an Euler product, but is constructed from a Rankin-Selberg integral applied to automorphic forms which are eigenfunctions of Hecke operators.

研究の動機と目的

• $ \mathrm{GL}(r, \mathbb{A}_\mathbb{Q}) $ 上の自動形式表現 $ \pi $ に対して、中心的twist $ L(1/2, \pi \otimes \chi_d) $ が非ゼロとなる最小の基本的判別式 $ d $ を特定すること。
• レベル $ N $ に対して $ |d| $ の有効な多項式型の境界を、リーマン・コブリー境界の改善として得ること。
• ランクイン＝セルバーグ積分を用いて構成されたオイラー積を持たない $ L $-関数に対しても、複数のディリクレ級数の手法を拡張すること。
• レベルとスペクトル的パラメータ（例：固有値 $ \lambda $）の両方の分岐に依存する境界の違いを明確にすること。
• すべての $ L $-関数が $ |d| \ll_\varepsilon N^\varepsilon $ を満たすはずであり、これはこのような複数のディリクレ級数に対するリンデルーフ型の境界から従うと予想すること。

提案手法

• 著者らは、ヘッケ作用素の固有関数である自動形式のランクイン＝セルバーグ積分から得られる複数のディリクレ級数 $ Z(s,w;1,1;\pi) $ を用いる。
• 逆メリン変換を適用し、ガンマ因子 $ G_r(w) $ を含む積分にtwistされた $ L $-値を関連づけ、$ \mathcal{I} = \sum_d L(1/2, \pi \otimes \chi_d) V(d/X) $ の形の式を得る。
• 積分路を $ \mathrm{Re}(w) = 2 $ から $ \mathrm{Re}(w) = -1 $ にシフトし、$ w=1, 0, 3/4, 1/4 $ で極を拾い、そのうち $ w=1 $ の極が支配的である。
• 複数のディリクレ級数の関数等式を用いて、積分を絶対収束領域に反映させ、新たな減衰関数 $ \tilde{V} $ を含む双対表現を得る。
• 残差項の評価とシーゲル零点の存在しないことの仮定に依存し、主要項が $ \gg N^{-\varepsilon} X $ のサイズを取ることを保証する。
• 固有値の側面では、ガンマ因子に対するスターリングの公式を適用し、同じ漸近的構造を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $ \mathrm{GL}(r, \mathbb{A}_\mathbb{Q}) $ 上の自動形式表現 $ \pi $ に対して、$ L(1/2, \pi \otimes \chi_d) \neq 0 $ となる最小の基本的判別式 $ d $ は何か？
• RQ2 レベル $ N $ に対して、アーキメデス的パラメータに依存しない $ |d| $ の有効な境界を確立できるか？
• RQ3 非消える問題におけるレベル $ N $ とスペクトル的パラメータ（例：固有値 $ \lambda $）への依存性は、どのように異なるか？
• RQ4 オイラー積を持たない $ L $-関数に対しても、複数のディリクレ級数の手法を拡張し、非消える結果を得られるか？
• RQ5 現在の境界を $ |d| \ll_\varepsilon N^\varepsilon $ に改善することは可能か？これはこのような級数に対するリンデルーフ予想に何を意味するか？

主な発見

• $ \mathrm{GL}(1) $ の場合、最初の非消える二次的twistは $ |d| \ll_\varepsilon N^{1/2+\varepsilon} $ で発生する。ここで $ N $ はヘッケ特徴のレベルである。
• $ \mathrm{GL}(2) $ の場合、境界は $ |d| \ll_\varepsilon N^{1+\varepsilon} $ に改善され、ヴァルトスピュルガーの定理とリーマン・ローチの議論と整合的である。
• $ \mathrm{GL}(3) $ の場合、関連する特徴が二次的であると仮定すると、境界は $ |d| \ll_\varepsilon N^{2+\varepsilon} $ となる。これは対称平方および外積平方 $ L $-関数から得られる。
• 証明は複数のディリクレ級数における積分路のシフトに依存し、主な寄与は $ w=1 $ の極から来る。残差項はスターリングの公式とガンマ因子の推定により評価される。
• すべてのこのような $ L $-値が $ |d| \ll N^{\theta_r + \varepsilon} $ まで消えると仮定すると、残留項が $ \gg N^{-A} $ のサイズを取ることから矛盾が生じ、非消えることが証明される。
• この手法は任意の数体に一般化可能であり、非オイラー積を持つ複数のディリクレ級数に対するリンデルーフ型の境界が成立すれば、最良の予想される境界 $ |d| \ll_\varepsilon N^\varepsilon $ が得られると示唆している。