[論文レビュー] The Fitzpatrick function - a bridge between convex analysis and multivalued stochastic differential equations

Aurel Rùascanu, Eduard Rotenstein|ArXiv.org|Sep 25, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、最大単調作用素によって駆動される前向きおよび後向き多値確率微分方程式（SDE）を解くための新しい変分的手法を導入する。Fitzpatrick関数を用いて解の存在を凸最小化問題に再定式化する。主な貢献は、部分微分作用素に限らない一般の最大単調作用素に対しても、凸下準連続汎関数の最小化によって解の存在を確立する統一的枠組みを構築したことである。

ABSTRACT

Using the Fitzpatrick function, we characterize the solutions for different classes of deterministic and stochastic differential equations driven by maximal monotone operators (or in particular subdifferential operators) as the minimum point of a suitably chosen convex lower semicontinuous function. Such technique provides a new approach for the existence of the solutions for the considered equations.

研究の動機と目的

• 一般の最大単調作用素に対して、既知の部分微分作用素の場合を超えて、後向き確率微分方程式の解の存在に関する未解決問題に取り組む。
• 凸解析を用いて、最大単調作用素によって駆動される前向きおよび後向きSDEの取り扱いを統一する。
• Fitzpatrick関数を介して、SDEを凸最小化問題に還元することにより、このような方程式に対する新しい解の存在証明を提供する。
• 凸解析の技法の適用範囲を、多値のドリフトを有する確率微分方程式へ拡張する。
• 解を適切に構成された凸汎関数の最小化子としての変分的特徴づけを確立する。

提案手法

• Fitzpatrick関数を用いて、最大単調作用素を凸関数として表現し、SDEの変分的定式化を可能にする。
• 前向きおよび後向きSDEの解は、適応過程上で定義された凸で下準連続な汎関数の最小化子として特徴づけられる。
• 前向き方程式の存在を確立するための重要な中間段階として、一般化されたSkorohod問題を分析する。
• 汎関数Jの凸性および下準連続性に依拠し、Jが凸下準連続関数の上限として表せることを示す。
• 適切な関数空間におけるコンパクト性および下準連続性の議論を用いて、最小化子の存在を証明する。
• Fitzpatrick表現を用いて最小化子が部分微分包含条件を満たすことを検証することで、解が元のSDEを満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fitzpatrick関数を用いた凸最小化によって、最大単調ドリフトを有する前向きSDEの解の存在を確立できるか？
• RQ2 同様の変分的手法を、部分微分作用素に限らない一般の最大単調作用素を有する後向きSDEへ拡張できるか？
• RQ3 Fitzpatrick関数は、前向きおよび後向き確率微分方程式を統一的に取り扱うためにどのように機能するか？
• RQ4 SDEの解に対応する最小化子をなす正確な凸汎関数は何か？
• RQ5 凸汎関数の最小化子が、元の確率微分包含を満たすための条件は何か？

主な発見

• 前向きSDE (1) の解は、適応過程上で定義された凸で下準連続な汎関数の最小化子として特徴づけられる。
• 後向きSDE (2) については、部分微分作用素の場合を超えた解の存在が、凸汎関数の最小化子として示された。
• Fitzpatrick関数は、最大単調作用素の変分的表現を提供し、SDEの解の存在問題を凸最小化問題に還元可能にする。
• 汎関数の最小化子は部分微分包含条件を満たし、これが元のSDEの解であることを確認する。
• 本手法は、作用素が部分微分作用素でない場合でさえも、前向きおよび後向き方程式の両方の解の存在を統一的な枠組みで確立する。
• 汎関数の凸性および下準連続性により、最小化子の存在が保証され、これが確率微分方程式の解に対応する。