[論文レビュー] The fixation line in the $Λ$-coalescent

Olivier Hénard|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$Λ$-共通祖先過程モデルにおけるマコフ過程としての固定線（fixation line）を導入し、集団における最も最近の共通祖先の系統を追跡する。ブロック数過程との双対性を確立し、$Λ$-共通祖先過程における$n$-共通祖先過程の最終的共通祖先化のブロック数が$n\to\infty$のとき分布収束することを証明し、極限確率変数の母関数を明示的に計算した。

ABSTRACT

We define a Markov process in a forward population model with backward genealogy given by the $Λ$-coalescent. This Markov process, called the fixation line, is related to the block counting process through its hitting times. Two applications are discussed. The probability that the $n$-coalescent is deeper than the $(n-1)$-coalescent is studied. The distribution of the number of blocks in the last coalescence of the $n$-$\operatorname {Beta}(2-α,α)$-coalescent is proved to converge as $n ightarrow\infty$, and the generating function of the limiting random variable is computed.

研究の動機と目的

• 固定線を$\Lambda$-共通祖先過程におけるブロック数過程の双対となるマコフ過程として定義し、その解析を行う。
• 特に$n$-共通祖先過程の深さ、特に$n$-共通祖先過程が$(n-1)$-共通祖先過程よりも深い確率を研究する。
• $n\to\infty$のとき、$n$-共通祖先過程の最終的共通祖先化に参加するブロック数の極限分布を調査する。
• $\operatorname{Beta}(2-\alpha,\alpha)$-共通祖先過程の状況において、極限確率変数の母関数を計算する。

提案手法

• 自然なカップリングを用いた$n$-共通祖先過程のカップリングにより、前向き時間のマコフ過程としての固定線を構成する。
• 固定線とブロック数過程との双対性を用いて、到達時間と共通祖先化のダイナミクスを解析する。
• 強度$dt\Lambda(dx)x^{-2}$を有するポアソン点測度の構成を用いて、共通祖先化イベントをモデル化する。
• ネヴェウの分岐過程を用いて、$n$-共通祖先過程の深さ$\tau_1^n$の漸近的挙動を導出する。
• 固定線への到達時間$\alpha_1^n$の成長率を解析することで、分布収束を確立する。
• バーデンヴォルトの恒等式を含む組合せ的恒等式を用いて、双対性方程式における被積分関数の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n\to\infty$のとき、$n$-共通祖先過程の最終的共通祖先化に参加するブロック数の分布は何か？
• RQ2 $n$-共通祖先過程の深さ$\tau_1^n$は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 $\operatorname{Beta}(2-\alpha,\alpha)$-共通祖先過程において、最後の共通祖先化におけるブロック数の極限母関数は何か？
• RQ4 固定線は双対性および到達時間によってブロック数過程とどのように関係しているか？
• RQ5 $n$-共通祖先過程の深さがほとんど確実に有界または無限大であるのはどのような条件下か？

主な発見

• $n\to\infty$のとき、$n$-共通祖先過程の深さ$\tau_1^n$は$\tau_1^n - \log\log n \Rightarrow -\log \mathbf{e}$を満たす。ここで$\mathbf{e}$はレート1の指数分布に従う確率変数である。
• 極限確率変数$-\log \mathbf{e}$はガブメル分布に従い、累積分布関数は$\mathbb{P}(-\log \mathbf{e} \leq x) = e^{-e^{-x}}$である。
• $(n\to\infty$のとき、$\operatorname{Beta}(2-\alpha,\alpha)$-共通祖先過程における$n$-共通祖先過程の最終的共通祖先化に参加するブロック数は分布収束する。
• $\operatorname{Beta}(2-\alpha,\alpha)$-共通祖先過程における極限確率変数の母関数は明示的に計算されている。
• 固定線過程がブロック数過程の双対となる前向き時間のマコフ過程であることが示され、到達時間は共通祖先化イベントに対応する。
• 証明は、$\alpha_1^n$のほとんど確実な成長率とネヴェウの分岐過程を用いた極限分布の導出に依存している。