[論文レビュー] The flip is often discontinuous

Volker Runde|ArXiv.org|Feb 28, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、反射的バナッハ空間 $E$ が近似性を持つとき、コンパクト作用素の代数 $ olimits\mathcal{K}(E)$ 上の初等作用素の代数 $ olimits\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ におけるフラップ自己同型が、$ olimits\dim E < \infty$ でない限り不連続であることを示している。この結果は、$ olimits\mathcal{K}(E)$ の二重双対におけるアレンズ積の一致しないことから導かれる。$E$ が無限次元のとき、$ olimits\mathcal{K}(E)$ はアレンズ正則でないため、フラップはコンパクト作用素に連続に拡張できない。これは、無限次元においてフラップがしばしば不連続であることを示し、未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $A$ be a Banach algebra. The flip on $A \otimes A^\op$ is defined through $A \otimes A^\op i a ensor b \mapsto b ensor a$. If $A$ is ultraprime, $\El(A)$, the algebra of all elementary operators on $A$, can be algebraically identified with $A \otimes A^\op$, so that the flip is well defined on $\El(\A)$. We show that the flip on $\El(A)$ is discontinuous if $A = K(E)$ for a reflexive Banach space $E$ with the approximation property.

研究の動機と目的

• 超素なバナッハ代数 $\mathfrak{A}$ に対して、$\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 上のフラップが連続かどうかという未解決問題を解決すること。
• 近似性を持つ反射的バナッハ空間 $E$ に対して、$\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上のフラップ写像の連続性を調査すること。
• $\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 上のフラップが二重双対に連続に拡張される条件を特定すること。
• アレンズ積と反射性が作用素代数上のフラップの連続性に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 超素なバナッハ代数 $\mathcal{A}$ に対して、$\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ と $\mathcal{E}\ell(\mathcal{A})$ 間の標準的な代数的同型を用い、$\mathcal{E}\ell(\mathcal{A})$ 上でのフラップの定義を可能にする。
• フラップを、$\mathcal{K}(E) \otimes \mathcal{K}(E)^{\mathrm{op}}$ におけるテンソル因子の交換によって誘導される反自己同型 $T \mapsto T^\top$ として定義し、これは初等作用素における転置に対応する。
• 二重双対におけるアレンズ積の理論を適用する：$E$ が無限次元かつ反射的であるとき、$\mathcal{K}(E)^{**}$ 上の第一および第二アレンズ積が一致しないことが示される。
• $\mathcal{K}(E)^{**} \cong \mathcal{B}(E^{**})$ および第二アレンズ積が $S \circ_2 T = (j^* \circ S^{**} \circ i^{**}) \circ T$ で与えられることを用いる。ここで $i, j$ は標準埋め込みである。
• 第二アレンズ積が単位元を持つのは $E$ が反射的である場合に限ることを示し、その単位元は $\mathrm{id}_{E^{**}}$ である。これは $E$ が有限次元でない限り両側単位元とはならない。
• $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ が $\mathcal{K}(\mathcal{K}(E))$ にノルムで稠密であることと、無限次元における $\mathcal{K}(E)$ の非アレンズ正則性を用いて、フラップは連続に拡張できないと結論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似性を持つ反射的バナッハ空間 $E$ に対して、$\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上のフラップは連続か？
• RQ2 $\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 上のフラップが $\mathcal{K}(E)$ の二重双対に連続に拡張される条件は何か？
• RQ3 $\mathcal{K}(E)^{**}$ 上の第一および第二アレンズ積はフラップの連続性とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathcal{K}(E)$ に有界近似単位元が存在することは、$\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上のフラップの連続性を意味するか？
• RQ5 $\mathfrak{A}$ が $\mathcal{K}(E)$ を含み、$\dim E = \infty$ のとき、$\mathcal{E}\ell(\mathfrak{A})$ 上のフラップは連続になり得るか？

主な発見

• $E$ が近似性を持つ無限次元の反射的バナッハ空間であるとき、$\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上のフラップは不連続である。
• $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上のフラップが連続であるのは $\dim E < \infty$ のときに限る。これは鋭い二分岐を示している。
• $\mathcal{K}(E)^{**}$ 上の第二アレンズ積が単位元を持つのは $E$ が反射的である場合に限る。これはフラップが連続に拡張されるための必要条件である。
• 標準的同型 $\mathcal{K}(E)^{**} \cong \mathcal{B}(E^{**})$ により、$\mathcal{K}(E)$ がアレンズ正則であるのは $\dim E < \infty$ のときであり、これはフラップが連続であることと同値である。
• 近似性を持つ反射的 $E$ に対して、代数 $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ は $\mathcal{K}(\mathcal{K}(E))$ にノルムで稠密であるため、フラップをコンパクト作用素に拡張できる。
• $\mathcal{K}(E)^{**}$ 上で第二アレンズ積が第一アレンズ積と一致しないことにより、無限次元ではフラップが $\mathcal{E}\ell(\mathcal{K}(E))$ 上で連続でないことが示される。