[論文レビュー] The Flow of Information in Interactive Quantum Protocols: the Cost of Forgetting

Mathieu Laurière, Dave Touchette|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、古典的入力をもつプロトコルにおける量子情報コスト（QIC）の新しい操作的特徴付けを提供し、それを古典的情報伝送コストと量子情報の忘れコストの和として定義する。本稿は、忘れが量子高速化に不可欠であることを証明している——具体的には、忘れを回避するいかなるプロトコルも、一意的非交差（Disjointness）問題において線形未満の通信量を達成できないため、インタラクティブプロトコルにおける顕著な量子優位性の実現には情報消去が必須であると示している。

ABSTRACT

In the context of two-party interactive quantum communication protocols, we study a recently defined notion of quantum information cost (QIC), which possesses most of the important properties of its classical analogue. Although this definition has the advantage to be valid for fully quantum inputs and tasks, its interpretation for classical tasks remained rather obscure. Also, the link between this new notion and other notions of information cost for quantum protocols that had previously appeared in the literature was not clear, if existent at all. We settle both these issues: for quantum communication with classical inputs, we provide an alternate characterization of QIC in terms of information about the input registers, avoiding any reference to the notion of a purification of the classical input state. We provide an exact operational interpretation of this alternative characterization as the sum of the cost of transmitting information about the classical inputs and the cost of forgetting information about these inputs. To obtain this characterization, we prove a general lemma, the Information Flow Lemma, assessing exactly the transfer of information in general interactive quantum processes. Furthermore, we clarify the link between QIC and IC of classical protocols by simulating quantumly classical protocols. Finally, we apply these concepts to argue that any quantum protocol that does not forget information solves Disjointness on n-bits in Omega (n) communication, completely losing the quadratic quantum speedup. This provides a specific sense in which forgetting information is a necessary feature of interactive quantum protocols. We also apply these concepts to prove that QIC at zero-error is exactly n for the Inner Product function, and n (1 - o(1)) for a random Boolean function on n+n bits.

研究の動機と目的

• 入力状態の純化に依存しないようにすることで、古典的タスクにおける量子情報コスト（QIC）の解釈の曖昧さを解消すること。
• 情報伝送コストと忘れコストの観点から、QICの操作的かつ情報理論的解釈を提供すること。
• QICと、古典的ICおよび他の量子バージョンの情報コストの概念との関係を明確にすること。
• 有界ラウンドプロトコルにおいて、量子高速化を達成するためには情報の忘れが必須であることを確立すること。
• 内積関数やランダムブール関数といった基本的関数のQICに対するタイトな下界を導出すること。

提案手法

• インタラクティブプロトコルにおける量子情報伝達を正確に追跡するための一般的手法として、情報フロー補題を導入する。
• 入力レジスタとプロトコルトランザクションの間の相互情報量を用いて、古典的入力の純化を回避するQICの新しい特徴付けを定義する。
• 量子情報コスト（QIC）を古典的情報コスト（CIC）と忘れコスト（CRIC）の和として操作化し、フォン・ノイマンエントロピーの変化によって定量的に評価する。
• フォン・ノイマンエントロピーの等長不変性を用いて、出力レジスタのエントロピーを入力情報量に関連付ける。
• 古典的プロトコルを量子的にシミュレートするフレームワークを適用し、古典的情報コストを保持する。これにより、古典的と量子的設定の直接比較が可能になる。
• Rényiエントロピーと集中不等式を用いて、ランダムブール関数に対するQICの高確率下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的入力に対して、特に入力の純化に依存しない形で、量子情報コスト（QIC）を特徴付けられるか？
• RQ2 量子プロトコルにおける情報伝送と消去の観点から、QICの操作的意味は何か？
• RQ3 QICは、古典的情報コスト（IC）や他の先行する量子情報コストの概念とどのように関係しているか？
• RQ4 有界ラウンドプロトコルにおいて、量子高速化を達成するためには情報の忘れが必須条件であるか？
• RQ5 ゼロエラー条件下での内積関数およびランダムブール関数のQICの正確な値は何か？

主な発見

• 一様入力分布下での内積関数のQICは、ゼロエラーで正確にn qubitsに等しい。
• n+nビットのランダムブール関数に対して、一様入力分布下でQICは高確率でn(1−o(1))に等しい。
• 情報の忘れを回避するいかなる量子プロトコルも、一意的非交差（Disjointness）問題をサブラインアーブ通信量で解くことはできない。これは、忘れが量子高速化のための必須条件であることを示唆している。
• プロトコルのQICは、古典的情報コスト（CIC）と忘れコスト（CRIC）の和と操作的に同等である。
• QICと古典的ICは、量子シミュレーションが古典的ICを保持するため、ほぼ同等である。これにより、古典的と量子的設定の直接比較が可能になる。
• エラーε→0の下で、ランダム関数の古典的ICの極限はn(1−o(1))に近づき、同様の境界がQICに対しても成り立つ。