[論文レビュー] The Flux Limited Keller-Segel System; Properties and Derivation from Kinetic Equations

Benoı̂t Perthame, Nicolas Vauchelet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、栄養物質への走・停止運動をモデル化する運動論的方程式から、走化性反応の剛性仮定のもとでフラックス制限型ケラーセゲル（FLKS）系を導出する。古典的ケラーセゲルモデルとは異なり、解の全域的存在を証明し、回転対称な定常状態の存在と、平衡への長時間収束を確立する。

ABSTRACT

The flux limited Keller-Segel (FLKS) system is a macroscopic model describing bacteria motion by chemotaxis which takes into account saturation of the velocity. The hyper-bolic form and some special parabolic forms have been derived from kinetic equations describing the run and tumble process for bacterial motion. The FLKS model also has the advantage that traveling pulse solutions exist as observed experimentally. It has attracted the attention of many authors recently. We design and prove a general derivation of the FLKS departing from a kinetic model under stiffness assumption of the chemotactic response and rescaling the kinetic equation according to this stiffness parameter. Unlike the classical Keller-Segel system, solutions of the FLKS system do not blow-up in finite or infinite time. Then we investigate the existence of radially symmetric steady state and long time behaviour of this flux limited Keller-Segel system.

研究の動機と目的

• 細菌の走・停止運動を記述する運動論的方程式のマクロスコピック極限として、フラックス制限型ケラーセゲル（FLKS）系を導出すること。
• 古典的ケラーセゲルモデルで一般的に見られる有限時刻 blow-up を回避するため、FLKS 系に対する解の全域的存在を確立すること。
• FLKS 系における回転対称な定常状態の存在を調査すること。
• 解の長時間漸近的挙動、特に平衡への収束を分析すること。
• 剛性スケーリング下での運動論的モデルの漸近解析を通じて、フラックス制限メカニズムの厳密な正当化を図ること。

提案手法

• 走・停止運動を伴う速度ジャンプ過程を有する運動論的方程式から出発し、走化性反応の剛性仮定を導入する。
• 小さな剛性パラメータに基づく特異スケーリングを運動論的方程式に適用し、放物型極限を介して FLKS 系を導出する。
• 化学的シグナルの時間微分に依存するトゥーミングカーネルを用いて、方向感覚と走化性反応をモデル化する。
• ドゥハメルの原理とグリーン関数の推定を用いて、$L^p$ 空間における化学的シグナルの勾配を制御する。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフおよびヤングの畳み込み不等式を用いて、細胞密度に関して化学的シグナルの勾配を評価する。
• 特異的グロワールの不等式を用いて解の成長を制御し、長時間挙動を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラックス制限型ケラーセゲル系は、細菌運動の運動論的モデルから厳密に導出可能か？
• RQ2 FLKS 系は有限時刻 blow-up を示さずに、時間全域にわたる解を有するか？
• RQ3 FLKS 系における回転対称な定常状態の構造と存在はいかなるものか？
• RQ4 FLKS 系の解は長時間にわたりどのように振る舞うか？
• RQ5 フラックス制限は、爆発を防ぎ、安定な移動パルス解を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• FLKS 系は、走化性反応の剛性スケーリング下での運動論的方程式の放物型極限として導出された。
• フラックス制限メカニズムのおかげで、解は時間全域にわたって存在し、爆発を回避する。
• 走化性フラックス関数 $\phi(|\nabla S|)$ は有界であるため、勾配が大きい環境でも速度の飽和が保証される。
• 適切なフラックス関数およびパrameter 条件の下で、FLKS 系には回転対称な定常状態が存在する。
• 解は $t \to \infty$ のとき平衡に収束し、収束速度は化学的シグナルおよび初期データの $L^p$ 空間における減衰に依存する。
• ベッセルおよびポアソンのポテンシャルを用い、ヤングおよびハリー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式を用いて、$\|\nabla S\|_{L^p}$ の推定が得られた。