[論文レビュー] The focusing cubic NLS with inverse-square potential in three space dimensions

Rowan Killip, Jason Murphy+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、3次元における逆2乗ポテンシャルを有する焦点的立方非線形シュレーディンガー方程式における散乱と爆発の鋭い閾値を確立する。重み付きラプラシアン $\mathcal{L}_a = -\Delta + \frac{a}{|x|^2}$ に対して、集中・コンパクトネス法およびエネルギーに関する帰納法の手法を適応することで、関連する楕円型方程式の基底状態解によって定義される閾値を同定し、この閾値未満のエネルギーを持つ解は大域的かつ散乱するが、それ以上の解は有限時間で爆発することを証明する。

ABSTRACT

We consider the focusing cubic nonlinear Schrödinger equation with inverse-square potential in three space dimensions. We identify a sharp threshold between scattering and blowup, establishing a result analogous to that of Duyckaerts, Holmer, and Roudenko for the standard focusing cubic NLS. We also prove failure of uniform space-time bounds at the threshold.

研究の動機と目的

• 3次元空間における焦点的立方非線形シュレーディンガー方程式に逆2乗ポテンシャルを加えた場合の散乱と爆発の間の鋭い閾値を確立すること。
• Duyckaerts, Holmer, および Roudenko が標準的NLSに対して得た閾値結果を、逆2乗ポテンシャルを有する場合に拡張すること。
• 閾値エネルギー水準における一様な空間時間的境界の不成立を分析すること。
• 逆2乗ポテンシャルによって生じる非並進不変な設定に、集中・コンパクトネス法およびエネルギーに関する帰納法の技法を適応すること。

提案手法

• 正の自己随伴性と正定性を保証するため、$a > -\frac{1}{4}$ の場合に、シュレーディンガー作用素 $\mathcal{L}_a = -\Delta + \frac{a}{|x|^2}$ のFriedrichs拡張を用いる。
• $L^2$ および $\dot{H}_a^1$ ノルムを用いて $L^4$ ノルムを制御する、鋭い定数 $C_a$ を持つ修正されたGagliardo-Nirenberg不等式を採用する。
• 局所解を $C_t H_a^1 \cap L_t^5 H_a^{1,30/11}$ に構成するために、$\mathcal{L}_a$-適応Sobolev空間におけるDuhamel公式およびStrichartz推移を適用する。
• 径対称性を用いてプロファイル分解におけるコンパクトネスを回復させ、径対称最小化子に対するPalais-Smale条件を可能にする。
• 非径対称な閾値結果に依存しないように、径対称列に対して $x_n \equiv 0$ の逆Strichartz不等式を適用する。
• 重み付きラプラシアン $\mathcal{L}_a$ の下で、径対称最小化子に対する強制性およびPohozaev恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間における焦点的立方非線形シュレーディンガー方程式に逆2乗ポテンシャルを加えた場合の、大域的解の存在と散乱の鋭い閾値は何か？
• RQ2 逆2乗ポテンシャルの存在が、標準的NLSで用いられる集中・コンパクトネス法およびエネルギーに関する帰納法の議論にどのように影響を与えるか？
• RQ3 閾値解は一様な空間時間的境界を満たすか。満たさない場合、その理由は何か？
• RQ4 $a > 0$ の場合に径対称解に対して閾値結果を拡張できるか。また、$a=0$ の場合と比較してエネルギー閾値はどのように異なるか？

主な発見

• 散乱と爆発の間の鋭い閾値が確立され、それは楕円型方程式 $\mathcal{L}_a Q = Q^3$ の基底状態解のエネルギーによって定義される。
• この閾値未満のエネルギーを持つ解は、時間に大域的かつ散乱するが、閾値を超える解は有限時間で爆発する。
• 閾値解は一様な空間時間的境界を満たさないことが、収束するが $L_{t,x}^5$ ノルムが発散する初期データの列を用いて示された。
• $a > 0$ の径対称初期データに対しては、閾値エネルギー $\mathcal{E}_{a,\text{rad}}$ が $\mathcal{E}_0$ より厳密に大きいが、散乱と爆発の閾値は依然として鋭い。
• 濃縮点 $x_n$ を 0 と取ることで、径対称プロファイルに対するPalais-Smale条件が示され、非径対称結果に依存しなくなった。
• 閾値に近い解の $L_{t,x}^5$ ノルムは時間に比例して増大し、$\|u_n\|_{L_{t,x}^5([-T,T] \times \mathbb{R}^3)} \gtrsim_T T$ が成り立ち、$T \to \infty$ のとき発散する。